Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é o círculo
orientado no sentido anti-horário. Resp.:
.
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é
onde
é o círculo
orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região.
Passo 2
O Teorema de Green nos diz que, para uma curva
fechada e positivamente orientada, e uma região
limitada por
,
Neste caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, calculamos:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Substituindo as derivadas no Teorema de Green:
Isso sugere que a integral de linha seria zero, mas isso contradiz a resposta esperada. Vamos verificar nossa abordagem.
Passo 6
Percebi que houve um erro na aplicação do Teorema de Green. Na verdade, o denominador
sugere que podemos simplificar a integral usando coordenadas polares.
Vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Assim,
, então
.
Passo 7
Expressando
e
em coordenadas polares:
Passo 8
Agora, a integral de linha se torna:
Em coordenadas polares,
e
. Porém, como estamos em um círculo
,
.
Então:
Passo 9
Substituindo na integral:
Simplificando:
Como
:
Passo 10
Observamos que:
Então:
Integrando de
a
:
Utilizando a identidade
:
Sabemos que:
Aplicando com
e
: