Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é o círculo orientado no sentido anti-horário. Resp.: .

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é
onde é o círculo orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região.

Passo 2

O Teorema de Green nos diz que, para uma curva fechada e positivamente orientada, e uma região limitada por ,
Neste caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, calculamos:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Substituindo as derivadas no Teorema de Green:
Isso sugere que a integral de linha seria zero, mas isso contradiz a resposta esperada. Vamos verificar nossa abordagem.

Passo 6

Percebi que houve um erro na aplicação do Teorema de Green. Na verdade, o denominador sugere que podemos simplificar a integral usando coordenadas polares.
Vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, , então .

Passo 7

Expressando e em coordenadas polares:

Passo 8

Agora, a integral de linha se torna:
Em coordenadas polares, e . Porém, como estamos em um círculo , .
Então:

Passo 9

Substituindo na integral:
Simplificando:
Como :

Passo 10

Observamos que:
Então:
Integrando de a :
Utilizando a identidade :
Sabemos que:
Aplicando com e :

Resposta

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