Calcule a integral
em que é a parte da parábola de até . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha:
Aqui, é a parte da parábola que vai de até . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e, se possível, verificar se o campo é conservativo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral:
Para saber se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que , verificamos se as derivadas cruzadas são iguais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Igualando:
Podemos ignorar a constante na função potencial. Então, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial encontrada, a integral de linha pode ser calculada facilmente usando os valores da função potencial nos pontos finais da curva .
Os pontos são e . Vamos calcular .
Primeiro, para :
Porque .
Agora, para :

Resposta

Subtraindo os valores:
Então, a resposta final é:

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.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
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