Calcule a integral
integralC(e^x+2 x y) d x+(x^2+cos pi y) d y
em que C é a parte da parábola y=x^2 de (-1,1) até (1,1). Resp.: e^1-e^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha:
integralC(e^x+2 x y) dx + (x^2+cos pi y) dy
Aqui, C é a parte da parábola y = x^2 que vai de (-1,1) até (1,1). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e, se possível, verificar se o campo é conservativo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F associado à integral:
F(x, y) = (e^x + 2xy,, x^2 + cos pi y)
Para saber se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que F = nabla phi, verificamos se as derivadas cruzadas são iguais:
partialpartial y(e^x + 2xy) = 2x
partialpartial x(x^2 + cos pi y) = 2x
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo F é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial phi(x, y) tal que:
partial phipartial x = e^x + 2xy
Integrando em relação a x:
phi(x, y) = integral (e^x + 2xy) dx = e^x + x^2y + g(y)
Agora, derivamos phi em relação a y para encontrar g(y):
partial phipartial y = x^2 + g'(y) = x^2 + cos pi y
Igualando:
g'(y) = cos pi y Rightarrow g(y) = sin pi ypi + C
Podemos ignorar a constante C na função potencial. Então, a função potencial é:
phi(x, y) = e^x + x^2y + sin pi ypi

Passo 4

Com a função potencial encontrada, a integral de linha pode ser calculada facilmente usando os valores da função potencial nos pontos finais da curva C.
Os pontos são A(-1,1) e B(1,1). Vamos calcular phi(B) - phi(A).
Primeiro, para B(1,1):
phi(1, 1) = e^1 + (1)^2(1) + sin pi cdot 1pi = e + 1 + 0pi = e + 1
Porque sin pi = 0.
Agora, para A(-1,1):
phi(-1, 1) = e^-1 + (-1)^2(1) + sin pi cdot 1pi = e^-1 + 1 + 0pi = e^-1 + 1

Resposta

Subtraindo os valores:
phi(1,1) - phi(-1,1) = (e + 1) - (e^-1 + 1) = e - e^-1
Então, a resposta final é:
e^1 - e^-1

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