Calcule a integral
em que
é a parte da parábola
de
até
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha:
Aqui,
é a parte da parábola
que vai de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e, se possível, verificar se o campo é conservativo para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
associado à integral:
Para saber se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que
, verificamos se as derivadas cruzadas são iguais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Igualando:
Podemos ignorar a constante
na função potencial. Então, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial encontrada, a integral de linha pode ser calculada facilmente usando os valores da função potencial nos pontos finais da curva
.
Os pontos são
e
. Vamos calcular
.
Primeiro, para
:
Porque
.
Agora, para
:
Resposta
Subtraindo os valores:
Então, a resposta final é:
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície do cilindro
que está acima do plano
e abaixo do plano
. Resp.:
.
Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é o círculo
orientado no sentido anti-horário. Resp.:
.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
.