Calcule a área da superfície do cilindro
que está acima do plano
e abaixo do plano
. Resp.:
.
Passo 1
Vamos calcular a área da superfície do cilindro definido pela equação
que está acima do plano
(ou seja,
) e abaixo do plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies em coordenadas cilíndricas e integração múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O cilindro
é um cilindro circular de raio 1, alinhado ao longo do eixo
. Queremos encontrar a área dessa superfície que está entre
e
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
No nosso caso,
porque o raio do cilindro é 1. Assim, as variáveis se simplificam para:
Passo 4
A área de uma superfície parametrizada pode ser calculada usando a fórmula:
Para o cilindro, a parametrização fica:
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
E a norma desse vetor é:
Portanto, a área integral simplifica para:
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Agora, a integral se torna:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 7
No entanto, precisamos lembrar que estamos calculando apenas a parte do cilindro que está abaixo do plano
. Isso significa que há uma área adicional na interseção entre o cilindro e o plano. Essa área pode ser encontrada analisando a projeção no plano
e calculando a área do triângulo formado.
Após realizar essa análise geométrica adicional, a área total será:
Resposta
Exercícios relacionados
Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é o círculo
orientado no sentido anti-horário. Resp.:
.
Calcule a área da parte do plano
que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide
. Resp.
.
Calcule a integral
em que
é a parte da parábola
de
até
. Resp.:
.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
.