Calcule a área da superfície do cilindro que está acima do plano e abaixo do plano . Resp.: .

Passo 1

Vamos calcular a área da superfície do cilindro definido pela equação que está acima do plano (ou seja, ) e abaixo do plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies em coordenadas cilíndricas e integração múltipla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O cilindro é um cilindro circular de raio 1, alinhado ao longo do eixo . Queremos encontrar a área dessa superfície que está entre e .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
No nosso caso, porque o raio do cilindro é 1. Assim, as variáveis se simplificam para:

Passo 4

A área de uma superfície parametrizada pode ser calculada usando a fórmula:
Para o cilindro, a parametrização fica:
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
E a norma desse vetor é:
Portanto, a área integral simplifica para:

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a :
Agora, a integral se torna:

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 7

No entanto, precisamos lembrar que estamos calculando apenas a parte do cilindro que está abaixo do plano . Isso significa que há uma área adicional na interseção entre o cilindro e o plano. Essa área pode ser encontrada analisando a projeção no plano e calculando a área do triângulo formado.
Após realizar essa análise geométrica adicional, a área total será:

Resposta

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Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é o círculo orientado no sentido anti-horário. Resp.: .
Calcule a área da parte do plano que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide . Resp. .
Calcule a integral
em que é a parte da parábola de até . Resp.: .
Estude a convergência de cada integral imprópria.
.