Calcule a área da parte do plano x + y = 1 que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide z = x^2 + y^2. Resp. 2/3 * raiz(2).

Passo 1

Vamos entender o problema. Precisamos calcular a área da parte do plano que está no primeiro octante (onde e ) e que é limitada acima pelo parabolóide . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região no plano que está no primeiro octante. Como e , os valores de e variam de 0 a 1, seguindo a equação .

Passo 3

Para calcular a área dessa região no plano, podemos parametrizar a superfície. Uma forma é expressar em termos de : .

Passo 4

A área da superfície no plano pode ser encontrada usando a integral dupla. A fórmula geral para a área em uma superfície é:
No nosso caso, , mas como estamos lidando com o plano , a inclinação é constante.

Passo 5

No entanto, uma abordagem mais simples para planos é calcular a área no plano e ajustar conforme a inclinação. A região no plano é um triângulo com vértices em , e . A área desse triângulo é:

Passo 6

Para ajustar a área devido à inclinação do plano, usamos o fator de correção que depende do ângulo entre o plano e o plano . No caso do plano , o fator de correção é .

Passo 7

Portanto, a área total na superfície inclinada é:
No entanto, considerando a limitação pelo parabolóide , a área efetiva será a metade desse valor, resultando em:

Resposta

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