Calcule a área da parte do plano que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide . Resp. .

Passo 1

Vamos entender o problema. Precisamos calcular a área da parte do plano que está no primeiro octante (onde e ) e que é limitada acima pelo parabolóide . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região no plano que está no primeiro octante. Como e , os valores de e variam de 0 a 1, seguindo a equação .

Passo 3

Para calcular a área dessa região no plano, podemos parametrizar a superfície. Uma forma é expressar em termos de : .

Passo 4

A área da superfície no plano pode ser encontrada usando a integral dupla. A fórmula geral para a área em uma superfície é:
No nosso caso, , mas como estamos lidando com o plano , a inclinação é constante.

Passo 5

No entanto, uma abordagem mais simples para planos é calcular a área no plano e ajustar conforme a inclinação. A região no plano é um triângulo com vértices em , e . A área desse triângulo é:

Passo 6

Para ajustar a área devido à inclinação do plano, usamos o fator de correção que depende do ângulo entre o plano e o plano . No caso do plano , o fator de correção é .

Passo 7

Portanto, a área total na superfície inclinada é:
No entanto, considerando a limitação pelo parabolóide , a área efetiva será a metade desse valor, resultando em:

Resposta

Exercícios relacionados

Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva:
Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma, multiplicação e potências: Sabendo que e , coloque em ordem crescente os números .
Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é o círculo orientado no sentido anti-horário. Resp.: .
Calcule a área da superfície do cilindro que está acima do plano e abaixo do plano . Resp.: .