Calcule a área da parte do plano
que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide
. Resp.
.
Passo 1
Vamos entender o problema. Precisamos calcular a área da parte do plano
que está no primeiro octante (onde
e
) e que é limitada acima pelo parabolóide
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região no plano
que está no primeiro octante. Como
e
, os valores de
e
variam de 0 a 1, seguindo a equação
.
Passo 3
Para calcular a área dessa região no plano, podemos parametrizar a superfície. Uma forma é expressar
em termos de
:
.
Passo 4
A área da superfície no plano pode ser encontrada usando a integral dupla. A fórmula geral para a área
em uma superfície
é:
No nosso caso,
, mas como estamos lidando com o plano
, a inclinação é constante.
Passo 5
No entanto, uma abordagem mais simples para planos é calcular a área no plano
e ajustar conforme a inclinação. A região
no plano
é um triângulo com vértices em
,
e
. A área desse triângulo é:
Passo 6
Para ajustar a área devido à inclinação do plano, usamos o fator de correção que depende do ângulo entre o plano e o plano
. No caso do plano
, o fator de correção é
.
Passo 7
Portanto, a área total na superfície inclinada é:
No entanto, considerando a limitação pelo parabolóide
, a área efetiva será a metade desse valor, resultando em: