Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar algumas propriedades básicas dos números reais, usando só as propriedades fundamentais da soma e do produto. As propriedades que vamos abordar são:
  • Associatividade: como agrupamos os números não altera o resultado.
  • Comutatividade: a ordem dos números não muda a soma ou o produto.
  • Elemento neutro: existe um número que, quando somado ou multiplicado, não muda o outro número.
  • Existência de oposto (na soma) e inverso (no produto): para cada número, existe outro que, somado a ele, dá o neutro, e para cada número diferente de zero, existe outro que, multiplicado por ele, dá o neutro.
  • Distributiva: relaciona a soma e o produto de forma que multiplicar uma soma por um número é o mesmo que multiplicar cada termo pelaquele número e depois somar.
Vamos precisar dessas propriedades básicas para comprovar cada uma delas para os números reais.

Passo 2

Associatividade da Soma
A associatividade da soma diz que a maneira como agrupamos os números na soma não altera o resultado. Ou seja, para quaisquer números reais :
Vamos provar isso:
  1. Somamos e primeiro e depois somamos :
  2. De acordo com a associatividade, isso deve ser igual a somar e primeiro e depois somar :
  3. Como estamos assumindo que a associatividade vale nos números reais, confirmamos que:

Passo 3

Comutatividade da Soma
A comutatividade da soma afirma que a ordem dos números na soma não altera o resultado. Para quaisquer números reais e :
Vamos demonstrar isso:
  1. Somando e :
  2. Agora, somando e :
  3. Pela propriedade comutativa, sabemos que:

Passo 4

Elemento Neutro da Soma
O elemento neutro da soma é um número que, quando somado a qualquer número real, não muda esse número. No caso da soma, o elemento neutro é . Ou seja, para qualquer número real :
Vamos ver isso:
  1. Somando e :
  2. Pelo elemento neutro da soma, isso deve ser igual a :

Passo 5

Existência de Oposto na Soma
Para cada número real , existe um número real que, quando somado a , resulta no elemento neutro da soma, que é . Ou seja:
Vamos comprovar:
  1. Somando e :
  2. Pelo princípio do oposto, isso deve ser igual a :

Passo 6

Comutatividade do Produto
A comutatividade do produto diz que a ordem dos fatores na multiplicação não altera o resultado. Para quaisquer números reais e :
Vamos demonstrar:
  1. Multiplicando por :
  2. Agora, multiplicando por :
  3. Pela propriedade comutativa do produto, temos:

Passo 7

Elemento Neutro do Produto
O elemento neutro do produto é o número . Quando multiplicamos qualquer número real por , o número não muda. Ou seja, para qualquer número real :
Vamos ver isso:
  1. Multiplicando por :
  2. Pelo elemento neutro do produto, isso é igual a :

Passo 8

Existência de Inverso no Produto
Para cada número real diferente de zero, existe um número real (ou ) que, quando multiplicado por , resulta no elemento neutro do produto, que é . Ou seja:
Vamos comprovar:
  1. Multiplicando por :
  2. Pelo princípio do inverso multiplicativo, isso deve ser igual a :
    Isso é válido desde que , pois zero não tem inverso multiplicativo.

Passo 9

Propriedade Distributiva
A propriedade distributiva relaciona a multiplicação com a soma. A forma que vamos demonstrar aqui é:
Isso significa que se é diferente de zero e multiplicado por é igual a multiplicado por , então deve ser igual a .
Vamos provar isso:
  1. Começamos com a igualdade:
  2. Queremos isolar e . Como , podemos multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso de , que é :
  3. Aplicando a associatividade do produto:
  4. Sabemos que :
  5. E pelo elemento neutro do produto:
    Portanto, demonstramos que é igual a quando e .

Resposta

Demonstramos, passo a passo, que as propriedades de associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto e inverso, além da propriedade distributiva no universo dos números reais, são verdadeiras utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto.

Exercícios relacionados

Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma, multiplicação e potências: Sabendo que e , coloque em ordem crescente os números .
Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma, multiplicação e potências: Sabendo que e , coloque em ordem crescente os números .
Calcule a área da parte do plano que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide . Resp. .
Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que é o círculo orientado no sentido anti-horário. Resp.: .