Demonstre as propriedades abaixo, no universo dos números reais, utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto: associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto (na soma) e inverso (no produto), distributiva:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar algumas propriedades básicas dos números reais, usando só as propriedades fundamentais da soma e do produto. As propriedades que vamos abordar são:
- Associatividade: como agrupamos os números não altera o resultado.
- Comutatividade: a ordem dos números não muda a soma ou o produto.
- Elemento neutro: existe um número que, quando somado ou multiplicado, não muda o outro número.
- Existência de oposto (na soma) e inverso (no produto): para cada número, existe outro que, somado a ele, dá o neutro, e para cada número diferente de zero, existe outro que, multiplicado por ele, dá o neutro.
- Distributiva: relaciona a soma e o produto de forma que multiplicar uma soma por um número é o mesmo que multiplicar cada termo pelaquele número e depois somar.
Vamos precisar dessas propriedades básicas para comprovar cada uma delas para os números reais.
Passo 2
Associatividade da Soma
A associatividade da soma diz que a maneira como agrupamos os números na soma não altera o resultado. Ou seja, para quaisquer números reais
:
Vamos provar isso:
- Somamos
e primeiro e depois somamos : - De acordo com a associatividade, isso deve ser igual a somar
e primeiro e depois somar : - Como estamos assumindo que a associatividade vale nos números reais, confirmamos que:
Passo 3
Comutatividade da Soma
A comutatividade da soma afirma que a ordem dos números na soma não altera o resultado. Para quaisquer números reais
e
:
Vamos demonstrar isso:
- Somando
e : - Agora, somando
e : - Pela propriedade comutativa, sabemos que:
Passo 4
Elemento Neutro da Soma
O elemento neutro da soma é um número que, quando somado a qualquer número real, não muda esse número. No caso da soma, o elemento neutro é
. Ou seja, para qualquer número real
:
Vamos ver isso:
- Somando
e : - Pelo elemento neutro da soma, isso deve ser igual a
:
Passo 5
Existência de Oposto na Soma
Para cada número real
, existe um número real
que, quando somado a
, resulta no elemento neutro da soma, que é
. Ou seja:
Vamos comprovar:
- Somando
e : - Pelo princípio do oposto, isso deve ser igual a
:
Passo 6
Comutatividade do Produto
A comutatividade do produto diz que a ordem dos fatores na multiplicação não altera o resultado. Para quaisquer números reais
e
:
Vamos demonstrar:
- Multiplicando
por : - Agora, multiplicando
por : - Pela propriedade comutativa do produto, temos:
Passo 7
Elemento Neutro do Produto
O elemento neutro do produto é o número
. Quando multiplicamos qualquer número real por
, o número não muda. Ou seja, para qualquer número real
:
Vamos ver isso:
- Multiplicando
por : - Pelo elemento neutro do produto, isso é igual a
:
Passo 8
Existência de Inverso no Produto
Para cada número real
diferente de zero, existe um número real
(ou
) que, quando multiplicado por
, resulta no elemento neutro do produto, que é
. Ou seja:
Vamos comprovar:
-
Multiplicando
por : -
Pelo princípio do inverso multiplicativo, isso deve ser igual a
: Isso é válido desde que, pois zero não tem inverso multiplicativo.
Passo 9
Propriedade Distributiva
A propriedade distributiva relaciona a multiplicação com a soma. A forma que vamos demonstrar aqui é:
Isso significa que se
é diferente de zero e
multiplicado por
é igual a
multiplicado por
, então
deve ser igual a
.
Vamos provar isso:
-
Começamos com a igualdade:
-
Queremos isolar
e . Como , podemos multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso de , que é : -
Aplicando a associatividade do produto:
-
Sabemos que
: -
E pelo elemento neutro do produto:Portanto, demonstramos que
é igual a quando e .
Resposta
Demonstramos, passo a passo, que as propriedades de associatividade, comutatividade, elemento neutro, existência de oposto e inverso, além da propriedade distributiva no universo dos números reais, são verdadeiras utilizando apenas as propriedades básicas da soma e do produto.
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Este exercício trata da ordenação dos números reais e sua relação com as operações de soma, multiplicação e potências: Sabendo que
e
, coloque em ordem crescente os números
.
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e
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.
Calcule a área da parte do plano
que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide
. Resp.
.
Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é o círculo
orientado no sentido anti-horário. Resp.:
.