Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível das integrais dadas a seguir:
a)
b)
c)
d) .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível de algumas integrais específicas. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, onde a gente trabalha muito com funções e áreas sob curvas. Para resolver, vamos usar técnicas de integração e analisar o comportamento das funções nos intervalos dados.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. A integral de de 3 a 4 nos dá a área sob a curva entre esses pontos.
Passo 2.1: Encontrar a antiderivada de .
A antiderivada de é .
Passo 2.2: Avaliar a antiderivada nos limites de integração.
Menor e Maior Valor:
Como é uma função crescente no intervalo [3,4], o menor valor da integral ocorre no limite inferior e o maior no superior. Mas como a integral é uma área fixa nesse intervalo, o valor é sempre 17,5.
Passo 3.2: Avaliar a antiderivada nos limites de integração.
Menor e Maior Valor:
A função é simétrica e sempre positiva, então a área é fixa em 48 nesse intervalo.
Passo 4
c) integral1^4 |x-1| , dx = integral1^4 (x-1) , dx
Essa integral envolve a função valor absoluto, o que significa que vamos ter que considerar onde (12x^2 - x) |1^4 = (12(16) - 4) - (12(1) - 1) = (8 - 4) - (0,5 - 1) = 4 - (-0,5) = 4,5 muda de sinal.
Passo 4.1: Encontrar onde .
Passo 4.2: Dividir a integral no ponto onde a função muda de comportamento.
Para , é negativo, mas nosso intervalo começa em 1, então a função dentro do valor absoluto é positiva.
Passo 4.3: Simplificar a integral.
Passo 4.4: Encontrar a antiderivada e avaliar.
A antiderivada de é .
Menor e Maior Valor:
Como a função é sempre positiva no intervalo [1,4], a área é fixa em 4,5.
Passo 5.2: Avaliar a antiderivada nos limites de integração.
98,1333 - (-13,5333) = 111,6666
Primeiro, para :
Agora, para :
Subtraindo:
Menor e Maior Valor:
A função é sempre positiva nesse intervalo, então a área é fixa em aproximadamente 111,67.
Resposta
a) Menor e maior valor da integral é 17,5.
b) Menor e maior valor da integral é 48.
c) Menor e maior valor da integral é 4,5.
d) Menor e maior valor da integral é aproximadamente 111,67.