Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível das integrais dadas a seguir:
a) integral3^4 5 x d x
b) integral-2^4 2 x^2 d x
c) integral1^4|x-1| d x
d) integral-1^4(x^4-8 x^2+16) d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível de algumas integrais específicas. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, onde a gente trabalha muito com funções e áreas sob curvas. Para resolver, vamos usar técnicas de integração e analisar o comportamento das funções nos intervalos dados.

Passo 2

a) 52x^2 |3^4 = 52(4)^2 - 52(3)^2 = 52(16) - 52(9) = 40 - 22,5 = 17,5

Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. A integral de de 3 a 4 nos dá a área sob a curva entre esses pontos.
Passo 2.1: Encontrar a antiderivada de .
A antiderivada de é .
Passo 2.2: Avaliar a antiderivada nos limites de integração.
Menor e Maior Valor:
Como é uma função crescente no intervalo [3,4], o menor valor da integral ocorre no limite inferior e o maior no superior. Mas como a integral é uma área fixa nesse intervalo, o valor é sempre 17,5.

Passo 3

b) 23x^3 |-2^4 = 23(4)^3 - 23(-2)^3 = 23(64) - 23(-8) = 1283 + 163 = 1443 = 48

Aqui, queremos a área sob a curva de -2 a 4.
Passo 3.1: Encontrar a antiderivada de .
A antiderivada de é .
Passo 3.2: Avaliar a antiderivada nos limites de integração.
Menor e Maior Valor:
A função é simétrica e sempre positiva, então a área é fixa em 48 nesse intervalo.

Passo 4

c) integral1^4 |x-1| , dx = integral1^4 (x-1) , dx

Essa integral envolve a função valor absoluto, o que significa que vamos ter que considerar onde (12x^2 - x) |1^4 = (12(16) - 4) - (12(1) - 1) = (8 - 4) - (0,5 - 1) = 4 - (-0,5) = 4,5 muda de sinal.
Passo 4.1: Encontrar onde .
Passo 4.2: Dividir a integral no ponto onde a função muda de comportamento.
Para , é negativo, mas nosso intervalo começa em 1, então a função dentro do valor absoluto é positiva.
Passo 4.3: Simplificar a integral.
Passo 4.4: Encontrar a antiderivada e avaliar.
A antiderivada de é .
Menor e Maior Valor:
Como a função é sempre positiva no intervalo [1,4], a área é fixa em 4,5.

Passo 5

d) (15x^5 - 83x^3 + 16x) |-1^4

Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 5.1: Encontrar a antiderivada de 15(1024) - 83(64) + 16(4) = 10245 - 5123 + 64 approx 204,8 - 170,6667 + 64 = 98,1333 .
A antiderivada é 15(-1)^5 - 83(-1)^3 + 16(-1) = -15 + 83 - 16 approx -0,2 + 2,6667 - 16 = -13,5333 .
Passo 5.2: Avaliar a antiderivada nos limites de integração.
98,1333 - (-13,5333) = 111,6666
Primeiro, para :
Agora, para :
Subtraindo:
Menor e Maior Valor:
A função é sempre positiva nesse intervalo, então a área é fixa em aproximadamente 111,67.

Resposta

a) Menor e maior valor da integral é 17,5.
b) Menor e maior valor da integral é 48.
c) Menor e maior valor da integral é 4,5.
d) Menor e maior valor da integral é aproximadamente 111,67.

Exercícios relacionados

Encontrar uma primitiva F, da função f(x)=x^(2 beta)+x, que satisfaça F(1) = 1.
integral x^-1 / 3-5x d x
Encontre a área da região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 4x - x^2. Encontre os pontos de interseção e esboce o gráfico da região.
integral x+3(x^2+1)(x+2)^2 d x