Encontre a área da região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 4x - x^2. Encontre os pontos de interseção e esboce o gráfico da região.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos precisar determinar os pontos de interseção dessas curvas e, em seguida, calcular a área entre elas utilizando conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas. Isso ocorre onde as duas equações são iguais, ou seja:

Passo 3

Resolvendo a equação , vamos juntar todos os termos do mesmo lado:

Passo 4

Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá as soluções:

Passo 5

Com os valores de , encontramos os respectivos valores de substituindo nas equações das curvas.
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de a . Primeiro, identificamos qual função está acima da outra nesse intervalo.
Observando as equações:
Percebe-se que está acima de no intervalo considerado.

Passo 7

A área é dada pela integral da diferença das funções:

Passo 8

Calculando a integral:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível das integrais dadas a seguir:
a) integral3^4 5 x d x
b) integral-2^4 2 x^2 d x
c) integral1^4|x-1| d x
d) integral-1^4(x^4-8 x^2+16) d x.
Encontrar uma primitiva F, da função f(x)=x^(2 beta)+x, que satisfaça F(1) = 1.
integral x+3(x^2+1)(x+2)^2 d x
((x^(-1) * y^(2) * z^(0)) / (x^(3) * y^(-4) * z^(2)))^(-1) = (x^(3) * y^(-4) * z^(2)) / (x^(-1) * y^(2) * z^(0)) = (x^(4) * z^(2)) / (y^(6))
(g) (x^2 * y^(-2))^(-1/2)