Encontre a área da região delimitada pelas curvas
e
. Encontre os pontos de interseção e esboce o gráfico da região.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a área da região delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos precisar determinar os pontos de interseção dessas curvas e, em seguida, calcular a área entre elas utilizando conceitos de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas. Isso ocorre onde as duas equações são iguais, ou seja:
Passo 3
Resolvendo a equação
, vamos juntar todos os termos do mesmo lado:
Passo 4
Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá as soluções:
Passo 5
Com os valores de
, encontramos os respectivos valores de
substituindo nas equações das curvas.
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de
a
. Primeiro, identificamos qual função está acima da outra nesse intervalo.
Observando as equações:
Percebe-se que
está acima de
no intervalo considerado.
Passo 7
A área
é dada pela integral da diferença das funções:
Passo 8
Calculando a integral:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível das integrais dadas a seguir:
a)
b)
c)
d) .
a)
b)
c)
d)
Encontrar uma primitiva
, da função
, que satisfaça
.
(g)