Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é a de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais. Precisamos decompor a fração em termos mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Para isso, assumimos que ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, expandimos os termos do lado direito:
Distribuindo:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação.
Passo 6
Igualando os coeficientes:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .
Passo 7
Da primeira equação, temos 4(-C) + B + 2C + D = 0 4(-C) + 4B + C = 1 4B + 2C + D = 3 . Substituímos -2C + B + D = 0 -3C + 4B = 1 4B + 2C + D = 3 nas outras equações:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo a segunda equação para -3C + 4B = 1 Rightarrow 4B = 3C + 1 Rightarrow B = 3C + 14 :
Substituímos na primeira e terceira equações.
Passo 9
Substituindo -2C + 3C + 14 + D = 0 Rightarrow -8C + 3C + 1 + 4D = 0 Rightarrow -5C + 4D = -1 na primeira equação:
4(3C + 14) + 2C + D = 3 Rightarrow 3C + 1 + 2C + D = 3 Rightarrow 5C + D = 2
E na terceira equação:
Passo 10
Agora temos:
-5C + 4D = -1 5C + D = 2
Somando as duas equações:
-5C + 4D + 5C + D = -1 + 2 Rightarrow 5D = 1 Rightarrow D = 15
Substituindo 5C + 15 = 2 Rightarrow 5C = 105 - 15 = 95 Rightarrow C = 925 na segunda equação:
Passo 11
Agora, encontramos B = 3(925) + 14 = 2725 + 25254 = 52254 = 52100 = 1325 e substituímos para achar :
Passo 12
Agora que temos x+3(x^2+1)(x+2)^2 = -925x + 1325x^2 + 1 + 925x + 2 + 15(x + 2)^2 , , e , podemos escrever as frações parciais:
Passo 13
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (-925x + 1325x^2 + 1) dx + integral 925x + 2 dx + integral 15(x + 2)^2 dx
Passo 14
Integrando cada termo:
-925 integral xx^2 + 1 dx + 1325 integral 1x^2 + 1 dx + 925 integral 1x + 2 dx - 15 integral 1(x + 2) cdot ddx(x + 2)^-1 dx