integral x+3(x^2+1)(x+2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é a de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais. Precisamos decompor a fração em termos mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor x+3(x^2+1)(x+2)^2 = Ax + Bx^2 + 1 + Cx + 2 + D(x + 2)^2 em frações parciais. Para isso, assumimos que ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x + 3 = (Ax + B)(x + 2)^2 + C(x^2 + 1)(x + 2) + D(x^2 + 1) para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, expandimos os termos do lado direito:
x + 3 = (Ax + B)(x^2 + 4x + 4) + C(x^3 + 2x^2 + x + 2) + D(x^2 + 1)
Distribuindo:
x + 3 = Ax^3 + 4Ax^2 + 4Ax + Bx^2 + 4Bx + 4B + Cx^3 + 2Cx^2 + Cx + 2C + Dx^2 + D

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
x + 3 = (A + C)x^3 + (4A + B + 2C + D)x^2 + (4A + 4B + C)x + (4B + 2C + D)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação.

Passo 6

Igualando os coeficientes:
A + C = 0 4A + B + 2C + D = 0 4A + 4B + C = 1 4B + 2C + D = 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , , e .

Passo 7

Da primeira equação, temos 4(-C) + B + 2C + D = 0 4(-C) + 4B + C = 1 4B + 2C + D = 3 . Substituímos -2C + B + D = 0 -3C + 4B = 1 4B + 2C + D = 3 nas outras equações:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo a segunda equação para -3C + 4B = 1 Rightarrow 4B = 3C + 1 Rightarrow B = 3C + 14 :
Substituímos na primeira e terceira equações.

Passo 9

Substituindo -2C + 3C + 14 + D = 0 Rightarrow -8C + 3C + 1 + 4D = 0 Rightarrow -5C + 4D = -1 na primeira equação:
4(3C + 14) + 2C + D = 3 Rightarrow 3C + 1 + 2C + D = 3 Rightarrow 5C + D = 2
E na terceira equação:

Passo 10

Agora temos:
-5C + 4D = -1 5C + D = 2
Somando as duas equações:
-5C + 4D + 5C + D = -1 + 2 Rightarrow 5D = 1 Rightarrow D = 15
Substituindo 5C + 15 = 2 Rightarrow 5C = 105 - 15 = 95 Rightarrow C = 925 na segunda equação:

Passo 11

Agora, encontramos B = 3(925) + 14 = 2725 + 25254 = 52254 = 52100 = 1325 e substituímos para achar :

Passo 12

Agora que temos x+3(x^2+1)(x+2)^2 = -925x + 1325x^2 + 1 + 925x + 2 + 15(x + 2)^2 , , e , podemos escrever as frações parciais:

Passo 13

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (-925x + 1325x^2 + 1) dx + integral 925x + 2 dx + integral 15(x + 2)^2 dx

Passo 14

Integrando cada termo:
-925 integral xx^2 + 1 dx + 1325 integral 1x^2 + 1 dx + 925 integral 1x + 2 dx - 15 integral 1(x + 2) cdot ddx(x + 2)^-1 dx
Simplificando:
-950 ln|x^2 + 1| + 1325 tan^-1(x) + 925 ln|x + 2| + 151x + 2

Resposta

A integral -950 ln|x^2 + 1| + 1325 tan^-1(x) + 925 ln|x + 2| + 151x + 2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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b) integral-2^4 2 x^2 d x
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((x^(-1) * y^(2) * z^(0)) / (x^(3) * y^(-4) * z^(2)))^(-1) = (x^(3) * y^(-4) * z^(2)) / (x^(-1) * y^(2) * z^(0)) = (x^(4) * z^(2)) / (y^(6))
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