Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Função Implícita para encontrar uma aproximação linear da função que está definida pela equação . O ponto que estamos considerando é . Vamos precisar entender como aplicar o teorema e calcular as derivadas necessárias para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Implícita. Ele nos diz que, se temos uma equação envolvendo e , como , e se certas condições são satisfeitas (como a derivada parcial de em relação a não ser zero no ponto dado), então podemos resolver essa equação para como uma função de perto desse ponto.

Passo 3

Vamos identificar nossa função :
E o ponto dado é . Primeiro, vamos verificar se :
Isso confirma que está na curva definida por .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

O teorema nos diz que podemos encontrar a derivada de em relação a usando:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, para a aproximação linear da função perto de , usamos a fórmula da reta tangente:
Onde e .

Resposta

A aproximação linear da função perto de é:

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar e :
em .
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.
Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar no ponto dado:
, em .
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.