Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Função Implícita para encontrar uma aproximação linear da função que está definida pela equação . O ponto que estamos considerando é . Vamos precisar entender como aplicar o teorema e calcular as derivadas necessárias para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Implícita. Ele nos diz que, se temos uma equação envolvendo e , como , e se certas condições são satisfeitas (como a derivada parcial de em relação a não ser zero no ponto dado), então podemos resolver essa equação para como uma função de perto desse ponto.
Passo 3
Vamos identificar nossa função :
E o ponto dado é . Primeiro, vamos verificar se :
Isso confirma que está na curva definida por .
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
O teorema nos diz que podemos encontrar a derivada de em relação a usando:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, para a aproximação linear da função perto de , usamos a fórmula da reta tangente: