Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função y = f(x) definida pela equação F(x, y) = 0, para (x, y) próximo do ponto P dado.
F(x, y) = 5 x^4 + 3 x^2 y^2 + y^5 - 9, P(1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Função Implícita para encontrar uma aproximação linear da função que está definida pela equação . O ponto que estamos considerando é . Vamos precisar entender como aplicar o teorema e calcular as derivadas necessárias para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Implícita. Ele nos diz que, se temos uma equação envolvendo e , como , e se certas condições são satisfeitas (como a derivada parcial de em relação a não ser zero no ponto dado), então podemos resolver essa equação para como uma função de perto desse ponto.

Passo 3

Vamos identificar nossa função :
E o ponto dado é . Primeiro, vamos verificar se :
Isso confirma que está na curva definida por .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

O teorema nos diz que podemos encontrar a derivada de em relação a usando:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, para a aproximação linear da função perto de , usamos a fórmula da reta tangente:
Onde e .

Resposta

A aproximação linear da função perto de é:

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