Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar e :
em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia (Caso 2) para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O enunciado nos dá as funções:
E queremos calcular e no ponto e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se depende de e , e e dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são:

Passo 3

Vamos achar as derivadas necessárias:
Primeiro, calculemos e :
Agora, vamos achar , , e :

Passo 4

Agora, vamos substituir e nas expressões acima:

Passo 5

Agora, aplicamos essas derivadas na regra da cadeia:
Para :
Para :

Resposta

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Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.
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, em .