Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar partial z / partial t e partial z / partial s :
z=arctan (2 x+y) ; x=s^2 t, y=s ln t em t=s=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia (Caso 2) para encontrar as derivadas parciais de z = arctan(2x + y), x = s^2 t, y = s ln t em relação a e . O enunciado nos dá as funções:
E queremos calcular e no ponto e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t depende de partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e , e e dependem de e , então as derivadas parciais de em relação a e são:

Passo 3

Vamos achar as derivadas necessárias:
Primeiro, calculemos z = arctan(2x + y) Rightarrow partial zpartial x = 21 + (2x + y)^2 e partial zpartial y = 11 + (2x + y)^2 e x = s^2 t Rightarrow partial xpartial t = s^2 e partial xpartial s = 2s t :
y = s ln t Rightarrow partial ypartial t = st e partial ypartial s = ln t
Agora, vamos achar , , e :

Passo 4

Agora, vamos substituir partial zpartial x = 21 + (2(1) + 1)^2 = 21 + 9 = 210 = 0,2 e partial zpartial y = 11 + (2(1) + 1)^2 = 110 = 0,1 nas expressões acima:
partial xpartial t = 1^2 = 1
partial ypartial t = 11 = 1
partial xpartial s = 2 cdot 1 cdot 1 = 2
partial ypartial s = ln 1 = 0

Passo 5

Agora, aplicamos essas derivadas na regra da cadeia:
Para partial zpartial t = (0,2) cdot 1 + (0,1) cdot 1 = 0,2 + 0,1 = 0,3 :
partial zpartial s = (0,2) cdot 2 + (0,1) cdot 0 = 0,4 + 0 = 0,4
Para :

Resposta

partial zpartial t |t=1, s=1 = 0,3 e partial zpartial s |t=1, s=1 = 0,4

Exercícios relacionados