Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para aplicar o Teorema da Função Implícita para encontrar uma aproximação linear da função
definida pela equação
perto do ponto
. Isso significa que queremos achar uma linha que aproxime
quando
está próximo de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos calcular
e
.
A função dada é:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Substituindo
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
O Teorema da Função Implícita nos diz que, se
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora que temos a derivada, podemos escrever a aproximação linear usando a fórmula da reta tangente:
Onde
e
. Substituindo:
Resposta
A aproximação linear da função
perto de
é:
Exercícios relacionados
Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar
no ponto dado:
, em
.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
40.
40.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.