Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para aplicar o Teorema da Função Implícita para encontrar uma aproximação linear da função definida pela equação perto do ponto . Isso significa que queremos achar uma linha que aproxime quando está próximo de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Vamos calcular e .
A função dada é:
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Substituindo e :
Para :
Para :

Passo 4

O Teorema da Função Implícita nos diz que, se , então a derivada de em relação a é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora que temos a derivada, podemos escrever a aproximação linear usando a fórmula da reta tangente:
Onde e . Substituindo:

Resposta

A aproximação linear da função perto de é:

Exercícios relacionados

Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar no ponto dado:
, em .
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
40.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.