Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função y = f(x) definida pela equação F(x, y) = 0, para (x, y) próximo do ponto P dado.
F(x, y) = cos(x - y) + (x e^y) / pi, P(pi, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para aplicar o Teorema da Função Implícita para encontrar uma aproximação linear da função definida pela equação perto do ponto . Isso significa que queremos achar uma linha que aproxime quando está próximo de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Vamos calcular e .
A função dada é:
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Substituindo e :
Para :
Para :

Passo 4

O Teorema da Função Implícita nos diz que, se , então a derivada de em relação a é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora que temos a derivada, podemos escrever a aproximação linear usando a fórmula da reta tangente:
Onde e . Substituindo:

Resposta

A aproximação linear da função perto de é:

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