Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a expansão de Taylor da função
em torno do ponto
. A expansão de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando polinômios, e para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a fórmula da expansão de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a função e suas derivadas no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada de
é
, então:
Evaluando em
:
Passo 5
Vamos para a segunda derivada:
Evaluando em
:
Passo 6
Continuando, a terceira derivada será:
Evaluando em
:
Passo 7
Agora, vamos montar a expansão de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A expansão de Taylor da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar
e
:
em
.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.