Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a expansão de Taylor da função em torno do ponto . A expansão de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando polinômios, e para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a fórmula da expansão de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Isso significa que precisamos calcular a função e suas derivadas no ponto .

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de . A derivada de é , então:
Evaluando em :

Passo 5

Vamos para a segunda derivada:
Evaluando em :

Passo 6

Continuando, a terceira derivada será:
Evaluando em :

Passo 7

Agora, vamos montar a expansão de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A expansão de Taylor da função em torno de é:

Exercícios relacionados

Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.
Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar e :
em .
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.