Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar no ponto dado:
, em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a regra da cadeia, especificamente o Caso 1. O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto onde . Temos as seguintes funções:
Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada de em relação a usando a regra da cadeia. Como depende de e , que por sua vez dependem de , temos:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Vamos agora substituir todas essas expressões na fórmula da regra da cadeia e avaliar em :
Primeiro, calculamos e em :
Agora, substituímos os valores na expressão da derivada:
Sabemos que:
Então:

Resposta

A derivada no ponto é:

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Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar e :
em .
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
40.