Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar
no ponto dado:
, em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a regra da cadeia, especificamente o Caso 1. O objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, no ponto onde
. Temos as seguintes funções:
Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia. Como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, temos:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Vamos agora substituir todas essas expressões na fórmula da regra da cadeia e avaliar em
:
Primeiro, calculamos
e
em
:
Agora, substituímos os valores na expressão da derivada:
Sabemos que:
Então:
Resposta
A derivada
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Use a regra da cadeia (Caso 2) para determinar
e
:
em
.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
40.
40.