Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar d z / d t no ponto dado:
z = sen(x) * cos(y); x = pi * t, y = raiz(t + 1), em t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a regra da cadeia, especificamente o Caso 1. O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto onde . Temos as seguintes funções:
Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada de em relação a usando a regra da cadeia. Como depende de e , que por sua vez dependem de , temos:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Vamos agora substituir todas essas expressões na fórmula da regra da cadeia e avaliar em :
Primeiro, calculamos e em :
Agora, substituímos os valores na expressão da derivada:
Sabemos que:
Então:

Resposta

A derivada no ponto é:

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