Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado. ,
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para aplicar o teorema da função implícita e encontrar uma aproximação linear para a função , definida pela equação , perto do ponto . Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função pode ser expressa de forma implícita em termos de e próximo ao ponto . Para isso, calculamos a derivada parcial de em relação a e verificamos se ela é diferente de zero em .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de :
Agora, avaliando essas derivadas no ponto :
Calculando cada termo:
Então,
Como , podemos aplicar o teorema da função implícita.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de em relação a e usando as derivadas de :
Calculando em :
Calculando em :
Portanto,
Passo 5
Agora, podemos escrever a aproximação linear para perto de :