Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
,

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para aplicar o teorema da função implícita e encontrar uma aproximação linear para a função , definida pela equação , perto do ponto . Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a função pode ser expressa de forma implícita em termos de e próximo ao ponto . Para isso, calculamos a derivada parcial de em relação a e verificamos se ela é diferente de zero em .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de :
Agora, avaliando essas derivadas no ponto :
Calculando cada termo:
Então,
Como , podemos aplicar o teorema da função implícita.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de em relação a e usando as derivadas de :
Calculando em :
Calculando em :
Portanto,

Passo 5

Agora, podemos escrever a aproximação linear para perto de :
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A aproximação linear para perto do ponto é:

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