Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que determinar o intervalo de convergência da série de potências
Isso faz parte do estudo de séries e sequências na matemática, mais especificamente no cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de essa série vai convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se
e se , a série converge. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral é:
Então, o termo seguinte é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite conforme vai para o infinito:
Como é menor que 1 para qualquer valor de , a série converge para todo .

Resposta

O intervalo de convergência da série é , ou seja, a série converge para todo número real .

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9-18
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20.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
,
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.