Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que determinar o intervalo de convergência da série de potências
Isso faz parte do estudo de séries e sequências na matemática, mais especificamente no cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de essa série vai convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se
e se , a série converge. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral é:
Então, o termo seguinte é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o limite conforme vai para o infinito:
Como é menor que 1 para qualquer valor de , a série converge para todo .
Resposta
O intervalo de convergência da série é , ou seja, a série converge para todo número real .