Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que determinar o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Isso faz parte do estudo de séries e sequências na matemática, mais especificamente no cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de essa série vai convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se
e se , a série converge. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral an = (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)! é:
an+1 = (-1)^(n+1)+1 x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! = (-1)^n+2 x^2n+1(2n+1)!
Então, o termo seguinte é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão | an+1an | = | (-1)^n+2 x^2n+1 / (2n+1)!(-1)^n+1 x^2n-1 / (2n-1)! | = | (-1)^n+2(-1)^n+1 cdot x^2n+1x^2n-1 cdot (2n-1)!(2n+1)! | :
= | (-1) cdot x^2 cdot 1(2n)(2n+1) | = x^22n(2n+1)
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite conforme L = limn to infty x^22n(2n+1) = limn to infty x^24n^2 + 2n = 0 vai para o infinito:
Como é menor que 1 para qualquer valor de , a série converge para todo .

Resposta

O intervalo de convergência da série é , ou seja, a série converge para todo número real .

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