Como as derivadas afetam a forma de um gráfico
9-18
(a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
20.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre como as derivadas afetam o gráfico da função . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda. Vamos precisar calcular essas derivadas para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, seus máximos e mínimos locais, além dos intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . Isso nos ajudará a identificar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A função é uma fração, então usamos a regra do quociente:
Podemos fatorar o numerador:

Passo 3

Agora, vamos analisar onde é positiva ou negativa para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Primeiro, identificamos os pontos críticos onde ou onde a derivada não existe. A derivada não existe em (pois o denominador se anula). Para :

Passo 4

Dividimos a linha dos números em intervalos com base nos pontos críticos , e :
Vamos testar cada intervalo:
  • Para : escolha
Então, está crescente nesse intervalo.
  • Para : escolha
Então, está decrescente nesse intervalo.
  • Para : escolha
Então, está decrescente nesse intervalo.
  • Para : escolha
Então, está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais usando os pontos críticos e .
  • Em :
    Observamos a mudança de crescente para decrescente:
    Antes de 0, está crescendo; após, decrescendo. Então, é um ponto de máximo local.
Calculando :
Então, o máximo local é .
  • Em :
    Observamos a mudança de decrescente para crescente:
    Antes de 2, está decrescendo; após, crescendo. Então, é um ponto de mínimo local.
Calculando :
Então, o mínimo local é .

Passo 6

Vamos agora calcular a derivada segunda para analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão.
Começamos com:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Expande e simplifica o numerador:
Então:

Passo 7

Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Então, os possíveis pontos de inflexão são em e .

Passo 8

Vamos determinar os intervalos de concavidade usando a derivada segunda .
Analisamos os sinais de :
  • Para : (concavidade para cima).
  • Entre : (concavidade para baixo).
  • Para : (concavidade para cima).

Resposta

(a) A função é crescente nos intervalos e , e decrescente nos intervalos e .
(b) A função possui um máximo local em com valor e um mínimo local em com valor .
© A função é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo no intervalo . Os pontos de inflexão estão em e .

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