Como as derivadas afetam a forma de um gráfico
9-18
(a) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
20.
9-18
(a) Encontre os intervalos nos quais
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
20.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre como as derivadas afetam o gráfico da função
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda. Vamos precisar calcular essas derivadas para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, seus máximos e mínimos locais, além dos intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira
da função
. Isso nos ajudará a identificar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A função é uma fração, então usamos a regra do quociente:
Podemos fatorar o numerador:
Passo 3
Agora, vamos analisar onde
é positiva ou negativa para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Primeiro, identificamos os pontos críticos onde
ou onde a derivada não existe. A derivada não existe em
(pois o denominador se anula). Para
:
Passo 4
Dividimos a linha dos números em intervalos com base nos pontos críticos
,
e
:
Vamos testar cada intervalo:
- Para
: escolha
Então,
está crescente nesse intervalo.
- Para
: escolha
Então,
está decrescente nesse intervalo.
- Para
: escolha
Então,
está decrescente nesse intervalo.
- Para
: escolha
Então,
está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais usando os pontos críticos
e
.
- Em
:
Observamos a mudança de crescente para decrescente:
Antes de 0,está crescendo; após, decrescendo. Então, é um ponto de máximo local.
Calculando
:
Então, o máximo local é
.
- Em
:
Observamos a mudança de decrescente para crescente:
Antes de 2,está decrescendo; após, crescendo. Então, é um ponto de mínimo local.
Calculando
:
Então, o mínimo local é
.
Passo 6
Vamos agora calcular a derivada segunda
para analisar a concavidade e encontrar pontos de inflexão.
Começamos com:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Expande e simplifica o numerador:
Então:
Passo 7
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Então, os possíveis pontos de inflexão são em
e
.
Passo 8
Vamos determinar os intervalos de concavidade usando a derivada segunda
.
Analisamos os sinais de
:
- Para
: (concavidade para cima). - Entre
: (concavidade para baixo). - Para
: (concavidade para cima).
Resposta
(a) A função
é crescente nos intervalos
e
, e decrescente nos intervalos
e
.
(b) A função possui um máximo local em
com valor
e um mínimo local em
com valor
.
© A função é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo no intervalo
. Os pontos de inflexão estão em
e
.
Exercícios relacionados
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
,
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.