Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Então, a questão está pedindo para a gente descobrir para quais valores de a série infinita converge. Basicamente, queremos saber em que intervalo de essa soma dá um resultado finito. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries de potências e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é a expressão dentro da soma que depende de . No nosso caso, o termo geral é:
Esse termo vai nos ajudar a aplicar o teste de convergência.

Passo 3

Para determinar o intervalo de convergência, vamos utilizar o Teste da Razão. Esse teste é muito útil para séries de potências e nos ajuda a encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Calculamos o limite da razão entre e :
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Como , temos:

Passo 6

Para a série convergir, queremos que :
Isso simplifica para:
Multiplicando ambos os lados por 9:

Passo 7

Resolvendo a inequação:
Isso significa que:
Adicionando 1 a todos os termos:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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