Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty n(x-1)^2 n3^2 n-1

Passo 1

Então, a questão está pedindo para a gente descobrir para quais valores de a série infinita converge. Basicamente, queremos saber em que intervalo de essa soma dá um resultado finito. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries de potências e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é a expressão dentro da soma que depende de an = n(x - 1)^2n3^2n - 1 . No nosso caso, o termo geral é:
Esse termo vai nos ajudar a aplicar o teste de convergência.

Passo 3

Para determinar o intervalo de convergência, vamos utilizar o Teste da Razão. Esse teste é muito útil para séries de potências e nos ajuda a encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Calculamos o limite L = limn to infty | an+1an | da razão entre L = limn to infty | (n + 1)(x - 1)^2(n+1)3^2(n+1)-1 cdot 3^2n - 1n(x - 1)^2n | e :
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
L = limn to infty | n + 1n cdot (x - 1)^2 cdot 13^2 | = limn to infty | (1 + 1n) cdot (x - 1)^29 |
Como L = | (x - 1)^29 | , temos:

Passo 6

Para a série convergir, queremos que | (x - 1)^29 | < 1 :
(x - 1)^29 < 1
Isso simplifica para:
(x - 1)^2 < 9
Multiplicando ambos os lados por 9:

Passo 7

Resolvendo a inequação:
|x - 1| < 3
Isso significa que:
-3 < x - 1 < 3
Adicionando 1 a todos os termos:
-2 < x < 4

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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