Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a gente precisa fazer. O exercício pede para aplicar o Teorema da Função Implícita para calcular uma aproximação linear da função . Essa função está definida pela equação perto do ponto . Então, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como usar o teorema para encontrar essa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Função Implícita. Ele diz que se temos uma equação e queremos expressar como uma função de e (ou seja, ), podemos fazer isso se a derivada parcial de em relação a não for zero no ponto de interesse. Essa derivada parcial é importante para garantir que podemos resolver a equação para de forma única perto daquele ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e . A função dada é:
As derivadas parciais são:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Como a derivada parcial em relação a no ponto é e diferente de zero, podemos aplicar o Teorema da Função Implícita para resolver em função de e .
Passo 6
A aproximação linear de em torno do ponto é dada por:
Onde:
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de em relação a e no ponto :
Passo 8
Sabemos que , então , e . Substituindo na fórmula da aproximação linear:
Passo 9
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
A aproximação linear para a função próxima ao ponto é: