Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função z = f(x, y) definida pela equação F(x, y, z) = 0, para (x, y, z) próximo do ponto P dado.
F(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - 6 x y z - 16 = 0, P(2, 2, 0)

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a gente precisa fazer. O exercício pede para aplicar o Teorema da Função Implícita para calcular uma aproximação linear da função . Essa função está definida pela equação perto do ponto . Então, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e como usar o teorema para encontrar essa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Função Implícita. Ele diz que se temos uma equação e queremos expressar como uma função de e (ou seja, ), podemos fazer isso se a derivada parcial de em relação a não for zero no ponto de interesse. Essa derivada parcial é importante para garantir que podemos resolver a equação para de forma única perto daquele ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e . A função dada é:
As derivadas parciais são:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Como a derivada parcial em relação a no ponto é e diferente de zero, podemos aplicar o Teorema da Função Implícita para resolver em função de e .

Passo 6

A aproximação linear de em torno do ponto é dada por:
Onde:

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de em relação a e no ponto :

Passo 8

Sabemos que , então , e . Substituindo na fórmula da aproximação linear:

Passo 9

Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A aproximação linear para a função próxima ao ponto é:

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