Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a função e a gente precisa representá-la como uma série de potências em . A matéria envolvida é série de potências e convergência de séries. Vamos usar a fórmula básica para ajudar na resolução. Precisamos encontrar a série equivalente para essa função e descobrir até onde essa série funciona, ou seja, o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fórmula dada é válida para . Isso significa que podemos usar essa série para representar funções que se parecem com , desde que o “algo” seja menor que 1 em valor absoluto.

Passo 3

Agora, vamos adaptar essa fórmula para a nossa função. Observamos que temos , que é parecido com . Isso é importante porque podemos substituir por na série original. Então, temos:

Passo 4

Mas a nossa função não é apenas , e sim . Para chegar lá, vamos diferenciar a série que encontramos. Sabemos que a derivada de em relação a é . Porém, queremos , então vamos ajustar isso depois.
Calculando a derivada da série:
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 5

Agora, queremos uma série com potências de apenas, então vamos ajustar o índice para simplificar. Podemos reescrever a série da seguinte maneira:
Isso representa cada termo da função como uma potência de , onde os coeficientes alternam de sinal e aumentam linearmente com .

Passo 6

Por último, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. Sabemos que a série original converge para . No nosso caso, substituímos por , então a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências de é dada por:
O raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é .

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Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
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