Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é a função
e a gente precisa representá-la como uma série de potências em
. A matéria envolvida é série de potências e convergência de séries. Vamos usar a fórmula básica
para ajudar na resolução. Precisamos encontrar a série equivalente para essa função e descobrir até onde essa série funciona, ou seja, o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a fórmula dada
é válida para
. Isso significa que podemos usar essa série para representar funções que se parecem com
, desde que o “algo” seja menor que 1 em valor absoluto.
Passo 3
Agora, vamos adaptar essa fórmula para a nossa função. Observamos que temos
, que é parecido com
. Isso é importante porque podemos substituir
por
na série original. Então, temos:
Passo 4
Mas a nossa função não é apenas
, e sim
. Para chegar lá, vamos diferenciar a série que encontramos. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Porém, queremos
, então vamos ajustar isso depois.
Calculando a derivada da série:
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 5
Agora, queremos uma série com potências de
apenas, então vamos ajustar o índice para simplificar. Podemos reescrever a série da seguinte maneira:
Isso representa cada termo da função como uma potência de
, onde os coeficientes alternam de sinal e aumentam linearmente com
.
Passo 6
Por último, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. Sabemos que a série original
converge para
. No nosso caso, substituímos
por
, então a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é
.
Resposta
A série de potências de
é dada por:
O raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
.