Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
x(1+x^2)^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a função e a gente precisa representá-la como uma série de potências em . A matéria envolvida é série de potências e convergência de séries. Vamos usar a fórmula básica para ajudar na resolução. Precisamos encontrar a série equivalente para essa função e descobrir até onde essa série funciona, ou seja, o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fórmula dada é válida para . Isso significa que podemos usar essa série para representar funções que se parecem com , desde que o “algo” seja menor que 1 em valor absoluto.

Passo 3

Agora, vamos adaptar essa fórmula para a nossa função. Observamos que temos 11 + x^2 = 11 - (-x^2) = sumn=0^infty (-x^2)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n , que é parecido com . Isso é importante porque podemos substituir por na série original. Então, temos:

Passo 4

Mas a nossa função não é apenas ddx ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n ) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2n cdot x^2n-1 , e sim -2x(1 + x^2)^2 = sumn=0^infty (-1)^n 2n x^2n-1 . Para chegar lá, vamos diferenciar a série que encontramos. Sabemos que a derivada de x(1 + x^2)^2 = sumn=0^infty (-1)^n+1 n x^2n-1 em relação a é . Porém, queremos , então vamos ajustar isso depois.
Calculando a derivada da série:
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 5

Agora, queremos uma série com potências de x(1 + x^2)^2 = sumn=1^infty (-1)^n (n) x^2n-1 apenas, então vamos ajustar o índice para simplificar. Podemos reescrever a série da seguinte maneira:
Isso representa cada termo da função como uma potência de , onde os coeficientes alternam de sinal e aumentam linearmente com .

Passo 6

Por último, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. Sabemos que a série original | -x^2 | < 1 implies x^2 < 1 implies |x| < 1 converge para . No nosso caso, substituímos por , então a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências de x(1+x^2)^2 = sumn=1^infty (-1)^n n x^2n-1 é dada por:
O raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é .

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