Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência. .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem a função e precisa representá-la como uma série de potências em . Além disso, temos que descobrir qual é o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e manipulação algébrica básica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador da função de uma forma que facilite a criação da série. Temos:
Podemos rearranjar os termos para facilitar a fatoração ou a aplicação de uma série geométrica. Vamos reescrever como:
Passo 3
Agora, para simplificar, vamos tentar expressar essa expressão de uma forma que se pareça com , que é a forma que usamos na série geométrica básica . Para isso, vamos completar o quadrado ou encontrar uma maneira de isolar .
Vamos fatorar o polinômio . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então:
Mas isso não facilita muito para a série. Então, vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos dividir o numerador e o denominador por 6 para simplificar a expressão:
Agora, queremos expressar o denominador na forma , para usar a série geométrica.
Passo 5
Vamos tentar reescrever o denominador:
Agora, temos:
Passo 6
Agora, podemos usar a série geométrica , válida para . Aqui, .
Então, a série fica:
Passo 7
Para simplificar, podemos expandir usando o binômio de Newton, mas isso fica mais complicado. Em vez disso, podemos deixar a série assim ou procurar uma expressão mais simples se possível. Para fins didáticos, vamos manter a expressão atual.
Passo 8
Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. A série geométrica converge quando .
Aqui, . Então, precisamos que:
Passo 9
Resolvendo a desigualdade:
Isso não é tão direto de resolver, mas sabemos que a série converge quando está dentro do intervalo . Dependendo da aplicação, podemos considerar valores de que satisfaçam essa condição.
Resposta
A representação em série de potências de é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência depende dos valores de que satisfazem .