Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação que relaciona
e
:
. O ponto dado é
. Queremos usar o Teorema da Função Implícita para encontrar uma aproximação linear de
em função de
perto desse ponto. Basicamente, vamos achar uma reta que aproxima
quando
está próximo de 0. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar o Teorema da Função Implícita. Para isso, precisamos que a derivada parcial de
em relação a
no ponto
não seja zero. Vamos calcular
:
No ponto
:
Como
é diferente de zero, podemos aplicar o teorema.
Passo 3
Agora, segundo o Teorema da Função Implícita, podemos resolver
para
como uma função de
perto de
. Vamos chamar essa função de
. Para encontrar a aproximação linear de
em
, precisamos da derivada
no ponto
.
Passo 4
Para achar
, usamos a fórmula derivada do teorema:
Onde
é a derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular
:
No ponto
:
Já sabemos que
. Então:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a aproximação linear de
em torno de
. A forma geral da aproximação linear é:
Aqui,
, então:
Resposta
A aproximação linear para a função
perto de
é:
Exercícios relacionados
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar
no ponto dado:
.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.