Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação que relaciona e : . O ponto dado é . Queremos usar o Teorema da Função Implícita para encontrar uma aproximação linear de em função de perto desse ponto. Basicamente, vamos achar uma reta que aproxima quando está próximo de 0. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar o Teorema da Função Implícita. Para isso, precisamos que a derivada parcial de em relação a no ponto não seja zero. Vamos calcular :
No ponto :
Como é diferente de zero, podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Agora, segundo o Teorema da Função Implícita, podemos resolver para como uma função de perto de . Vamos chamar essa função de . Para encontrar a aproximação linear de em , precisamos da derivada no ponto .

Passo 4

Para achar , usamos a fórmula derivada do teorema:
Onde é a derivada parcial de em relação a . Vamos calcular :
No ponto :
Já sabemos que . Então:

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a aproximação linear de em torno de . A forma geral da aproximação linear é:
Aqui, , então:

Resposta

A aproximação linear para a função perto de é:

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Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar no ponto dado:
.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.