Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função z = f(x, y) no ponto dado.
z = y^2 - x^2, (-4, 5, 9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto específico . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas vão nos ajudar a determinar a inclinação do plano tangente naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dada:
E o ponto onde queremos encontrar o plano tangente é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto dado :
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equa��ão do plano tangente usando a fórmula:
Onde é o ponto de tangência.
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Distribuindo os termos:
Somando os termos constantes:

Resposta

A equação do plano tangente é:

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