Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar
no ponto dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, no ponto onde
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia (Caso 1). Os dados que temos são:
Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas usando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas. Aqui,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
. Isso significa que
é uma função composta de
. Para encontrar
, vamos usar a regra da cadeia multivariada:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais e derivadas em relação a
:
-
Derivada parcial de
em relação a : -
Derivada parcial de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores no ponto
:
-
Calcular
e : -
Substituir
e na expressão de :
Resposta
A derivada
no ponto
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.