Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar no ponto dado:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto onde . Para isso, vamos usar a regra da cadeia (Caso 1). Os dados que temos são:
Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas. Aqui, é uma função de e , que por sua vez são funções de . Isso significa que é uma função composta de . Para encontrar , vamos usar a regra da cadeia multivariada:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais e derivadas em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  2. Derivada parcial de em relação a :
  3. Derivada de em relação a :
  4. Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores no ponto :
  1. Calcular e :
  2. Substituir e na expressão de :

Resposta

A derivada no ponto é igual a 1.

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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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