Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para representar a função como uma série de potências em , usando a fórmula , que vale para . Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e analisar o raio e o intervalo de convergência da série resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça mais com a fórmula que a gente já conhece, . Para isso, podemos fatorar o 2 do denominador:
Passo 3
Agora, observe que é semelhante a , onde . Podemos então aplicar a série geométrica que já conhecemos:
Substituindo por , temos:
Passo 4
Voltando à expressão que tínhamos:
Então, representamos como:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge se . No nosso caso, , então a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência é R = 2, e o intervalo de convergência é (-2, 2).
Resposta
A série de potências que representa 12 + x é:
12 + x = sumn=0^infty (-1)^n2^n+1 x^n
O raio de convergência é R = 2 e o intervalo de convergência é -2 < x < 2.