Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para representar a função como uma série de potências em , usando a fórmula , que vale para . Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e analisar o raio e o intervalo de convergência da série resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça mais com a fórmula que a gente já conhece, . Para isso, podemos fatorar o 2 do denominador:

Passo 3

Agora, observe que é semelhante a , onde . Podemos então aplicar a série geométrica que já conhecemos:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Voltando à expressão que tínhamos:
Então, representamos como:

Passo 5

Agora, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge se . No nosso caso, , então a condição de convergência fica:
Portanto, o raio de convergência é , e o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências que representa é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar no ponto dado:
.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.