Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
12+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para representar a função 12+x como uma série de potências em x, usando a fórmula 11-x = sumn=0^infty x^n, que vale para |x| < 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e analisar o raio e o intervalo de convergência da série resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 12+x de uma forma que se pareça mais com a fórmula que a gente já conhece, 11-x. Para isso, podemos fatorar o 2 do denominador:
12 + x = 12(1 + x2) = 12 cdot 11 + x2

Passo 3

Agora, observe que 11 + x2 é semelhante a 11 - y, onde y = -x2. Podemos então aplicar a série geométrica que já conhecemos:
11 - y = sumn=0^infty y^n
Substituindo y por -x2, temos:
11 + x2 = sumn=0^infty (-x2)^n

Passo 4

Voltando à expressão que tínhamos:
12 + x = 12 cdot sumn=0^infty (-x2)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n2^n+1
Então, representamos 12 + x como:
12 + x = sumn=0^infty (-1)^n2^n+1 x^n

Passo 5

Agora, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica sumn=0^infty y^n converge se |y| < 1. No nosso caso, y = -x2, então a condição de convergência fica:
| -x2 | < 1 implies | x2 | < 1 implies |x| < 2
Portanto, o raio de convergência é R = 2, e o intervalo de convergência é (-2, 2).

Resposta

A série de potências que representa 12 + x é:
12 + x = sumn=0^infty (-1)^n2^n+1 x^n
O raio de convergência é R = 2 e o intervalo de convergência é -2 < x < 2.

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