Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função
definida pela equação
, para
próximo do ponto P dado.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o teorema da função implícita pra encontrar uma aproximação linear para a função
que está definida pela equação
. Isso vai ser feito perto do ponto
. A equação dada é:
Então, vamos precisar entender como aplicar o teorema da função implícita e calcular as derivadas necessárias para construir essa aproximação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da função implícita. Basicamente, ele nos diz que se temos uma equação
e certas condições são satisfeitas (como
no ponto considerado), então podemos resolver essa equação para
como uma função de
e
, ou seja,
.
Para encontrar a aproximação linear de
perto de
, vamos usar a equação da reta tangente em
, que é a primeira aproximação da função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
no ponto
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
:
Por fim, a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos usar o teorema da função implícita para encontrar a aproximação linear de
perto de
.
A aproximação linear (ou a reta tangente) é dada por:
Onde:
-
é o ponto de expansão, que no nosso caso é . - As derivadas
, e já foram calculadas no passo anterior.
Passo 5
Substituindo os valores que obtivemos:
E
,
, temos:
Simplificando:
Resposta
A aproximação linear para a função
perto do ponto
é:
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Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
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9-18
(a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
20.
9-18
(a) Encontre os intervalos nos quais
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
© Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
20.
Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Use regra da cadeia (Caso 1) para determinar
no ponto dado:
.