Aplicar o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para a função definida pela equação , para próximo do ponto P dado.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o teorema da função implícita pra encontrar uma aproximação linear para a função que está definida pela equação . Isso vai ser feito perto do ponto . A equação dada é:
Então, vamos precisar entender como aplicar o teorema da função implícita e calcular as derivadas necessárias para construir essa aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da função implícita. Basicamente, ele nos diz que se temos uma equação e certas condições são satisfeitas (como no ponto considerado), então podemos resolver essa equação para como uma função de e , ou seja, .
Para encontrar a aproximação linear de perto de , vamos usar a equação da reta tangente em , que é a primeira aproximação da função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e no ponto .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
No ponto :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
No ponto :
Por fim, a derivada parcial de em relação a :
No ponto :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos usar o teorema da função implícita para encontrar a aproximação linear de perto de .
A aproximação linear (ou a reta tangente) é dada por:
Onde:
  • é o ponto de expansão, que no nosso caso é .
  • As derivadas , e já foram calculadas no passo anterior.

Passo 5

Substituindo os valores que obtivemos:
E , , temos:
Simplificando:

Resposta

A aproximação linear para a função perto do ponto é:

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