Em cada caso, determine o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve entender sobre séries, especialmente séries de potências, e como verificar onde elas convergem. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de a série vai somar um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. É uma série da forma , onde é o centro da série. No nosso caso, temos e o termo , então podemos ver que a série está em torno de .
Passo 3
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que se o limite for menor que 1, a série converge.
Passo 4
Calculando o limite L = limn to infty | (1 - x)^n+1(n+2)3^n+1(1 - x)^n(n+1)3^n | = limn to infty | (1 - x)^n+1 cdot (n+1)3^n(1 - x)^n cdot (n+2)3^n+1 | :
Simplificando:
L = limn to infty | (1 - x) cdot (n+1)3(n+2) | = | 1 - x3 | cdot limn to infty n+1n+2
Como L = | 1 - x3 | , temos:
Passo 5
Para que a série convirja, precisamos que | 1 - x3 | < 1 :
|1 - x| < 3
Multiplicando ambos os lados por 3:
-3 < 1 - x < 3
Isso significa que:
Passo 6
Resolvendo a desigualdade para -3 < 1 - x < 3 :
-4 < -x < 2
Subtraindo 1 de todas as partes:
4 > x > -2
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):
Então, o intervalo preliminar é .
Passo 7
Agora, precisamos verificar os pontos finais (1 - (-2))^n(n+1)3^n = 3^n(n+1)3^n = 1n+1 e (1 - 4)^n(n+1)3^n = (-3)^n(n+1)3^n = (-1)^nn+1 para ver se a série converge nesses valores.
Para :
A série é a série harmônica, que sabemos que diverge.
Para :
A série é uma série alternada, e pelo Teste da Série Alternada, ela converge.