Aplique o algoritmo de escalonamento na seguinte matriz aumentada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz aumentada que representa um sistema de equações lineares. Nosso objetivo é usar o algoritmo de escalonamento, também conhecido como eliminação de Gauss, para simplificar essa matriz e encontrar as soluções do sistema. Para isso, vamos precisar fazer operações nas linhas da matriz para deixar os números abaixo dos pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha) iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, observamos a primeira coluna. O pivô ideal aqui é o número 1, que já está na posição (1,1) da nossa matriz. Então, vamos usar essa linha para zerar os números abaixo desse pivô na mesma coluna.
Nossa matriz inicial é:
Vamos chamar a primeira linha de L1.
Passo 3
Agora, vamos zerar o número 2 na posição (2,1). Para isso, fazemos:
L2 = L2 - 2×L1
Calculando:
- Segunda linha antes:
(cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & 4 0 & 5 & -5 & 1 & -3 1 & 1 & 0 & -1 & 2 3 & 1 & 1 & 2 & 7 ) - 2×L1:
- Subtraindo:
que dá
Nossa matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos zerar o 1 na posição (3,1). Fazemos:
L3 = L3 - L1
Calculando:
- Terceira linha antes:
(cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & 4 0 & 5 & -5 & 1 & -3 0 & 2 & -2 & -1 & -2 3 & 1 & 1 & 2 & 7 ) - L1:
- Subtraindo:
que dá
Matriz atualizada:
Passo 5
Vamos zerar o 3 na posição (4,1). Usamos:
L4 = L4 - 3×L1
Calculando:
- Quarta linha antes:
(cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & 4 0 & 5 & -5 & 1 & -3 0 & 2 & -2 & -1 & -2 0 & 4 & -5 & 2 & -5 ) - 3×L1:
- Subtraindo:
que dá
Matriz agora:
Passo 6
Vamos para a segunda coluna. O pivô ideal aqui é o 5 na posição (2,2). Vamos usar essa linha para zerar os números abaixo desse pivô na mesma coluna.
Primeiro, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 5:
L2 = (1/5) × L2
Assim:
- Segunda linha antes:
(cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & 4 0 & 1 & -1 & 0.2 & -0.6 0 & 2 & -2 & -1 & -2 0 & 4 & -5 & 2 & -5 ) - Dividindo por 5:
Matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos zerar o 2 na posição (3,2) usando a segunda linha:
L3 = L3 - 2×L2
Calculando:
- Terceira linha antes:
(cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & 4 0 & 1 & -1 & 0.2 & -0.6 0 & 0 & 0 & -1.4 & -0.8 0 & 4 & -5 & 2 & -5 ) - 2×L2:
- Subtraindo:
que dá
Matriz atualizada:
Passo 8
Vamos zerar o 4 na posição (4,2) usando a segunda linha:
L4 = L4 - 4×L2
Calculando:
- Quarta linha antes:
(cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & 4 0 & 1 & -1 & 0.2 & -0.6 0 & 0 & 0 & -1.4 & -0.8 0 & 0 & -1 & 1.2 & -2.6 ) - 4×L2:
- Subtraindo:
que dá
Matriz agora:
Passo 9
Vamos para a terceira coluna. O pivô ideal seria um número diferente de zero, mas na terceira linha temos todos zeros até a quarta coluna. Observamos que a quarta coluna na terceira linha tem -1.4, então vamos trocar a terceira e quarta linhas para facilitar.
Após trocar L3 com L4:
Passo 10
Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por -1 para deixar o pivô como 1:
L3 = -1 × L3
Assim:
- Terceira linha antes:
(cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & 4 0 & 1 & -1 & 0.2 & -0.6 0 & 0 & 1 & -1.2 & 2.6 0 & 0 & 0 & -1.4 & -0.8 ) - Multiplicando por -1:
Matriz fica:
Passo 11
Por fim, vamos simplificar a quarta linha dividindo por -1.4 para obter o pivô 1:
L4 = (1/ -1.4) × L4
Calculando:
- Quarta linha antes:
(cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & 4 0 & 1 & -1 & 0.2 & -0.6 0 & 0 & 1 & -1.2 & 2.6 0 & 0 & 0 & 1 & 0.5714 ) - Dividindo por -1.4:
Matriz final em forma escalonada:
Resposta
Após aplicar o algoritmo de escalonamento, a matriz está na forma escalonada. Agora, podemos resolver o sistema pelas equações correspondentes:
-
x approx 0.8286 y approx 2.4 z approx 3.2857 w approx 0.5714 -
-
-
Portanto, a solução do sistema é aproximadamente: