Mostre que três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam a igualdade
|lll x1 & y1 & 1 x2 & y2 & 1 x3 & y3 & 1 |=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que três pontos , e estão na mesma reta (são colineares) se e somente se a determinação de uma matriz específica for igual a zero. Vamos usar conceitos de geometria analítica e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Três pontos estão na mesma reta se a inclinação entre e for a mesma que entre e . Ou seja, a taxa de variação de em relação a é constante.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre determinantes. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser usado para verificar se três pontos estão na mesma reta. Se o determinante for zero, isso indica que os vetores formados pelos pontos são linearmente dependentes, ou seja, os pontos estão alinhados.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz dada:
|lll x1 & y1 & 1 x2 & y2 & 1 x3 & y3 & 1 |
O cálculo do determinante dessa matriz é feito da seguinte maneira:
x1(y2 cdot 1 - y3 cdot 1) - y1(x2 cdot 1 - x3 cdot 1) + 1(x2 y3 - x3 y2)
Simplificando:
x1(y2 - y3) - y1(x2 - x3) + (x2 y3 - x3 y2)

Passo 5

Agora, se o determinante é igual a zero:
x1(y2 - y3) - y1(x2 - x3) + (x2 y3 - x3 y2) = 0
Essa igualdade mostra que as variações em e são proporcionais, confirmando que os pontos estão na mesma reta.

Passo 6

Portanto, mostramos que se o determinante dessa matriz for zero, então os três pontos , e são colineares. E, inversamente, se os pontos são colineares, o determinante será zero. Isso prova a condição necessária e suficiente para a colinearidade usando determinantes.

Resposta

Três pontos |lll x1 & y1 & 1 x2 & y2 & 1 x3 & y3 & 1 | = 0 , e são colineares se, e somente se,

Exercícios relacionados