Mostre que três pontos e são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que três pontos , e estão na mesma reta (são colineares) se e somente se a determinação de uma matriz específica for igual a zero. Vamos usar conceitos de geometria analítica e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Três pontos estão na mesma reta se a inclinação entre e for a mesma que entre e . Ou seja, a taxa de variação de em relação a é constante.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre determinantes. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser usado para verificar se três pontos estão na mesma reta. Se o determinante for zero, isso indica que os vetores formados pelos pontos são linearmente dependentes, ou seja, os pontos estão alinhados.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz dada:
O cálculo do determinante dessa matriz é feito da seguinte maneira:
Simplificando:
Passo 5
Agora, se o determinante é igual a zero:
Essa igualdade mostra que as variações em e são proporcionais, confirmando que os pontos estão na mesma reta.
Passo 6
Portanto, mostramos que se o determinante dessa matriz for zero, então os três pontos , e são colineares. E, inversamente, se os pontos são colineares, o determinante será zero. Isso prova a condição necessária e suficiente para a colinearidade usando determinantes.