Mostre que três pontos e são colineares se, e somente se, suas coordenadas verificam a igualdade

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que três pontos , e estão na mesma reta (são colineares) se e somente se a determinação de uma matriz específica for igual a zero. Vamos usar conceitos de geometria analítica e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem colineares. Três pontos estão na mesma reta se a inclinação entre e for a mesma que entre e . Ou seja, a taxa de variação de em relação a é constante.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre determinantes. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser usado para verificar se três pontos estão na mesma reta. Se o determinante for zero, isso indica que os vetores formados pelos pontos são linearmente dependentes, ou seja, os pontos estão alinhados.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz dada:
O cálculo do determinante dessa matriz é feito da seguinte maneira:
Simplificando:

Passo 5

Agora, se o determinante é igual a zero:
Essa igualdade mostra que as variações em e são proporcionais, confirmando que os pontos estão na mesma reta.

Passo 6

Portanto, mostramos que se o determinante dessa matriz for zero, então os três pontos , e são colineares. E, inversamente, se os pontos são colineares, o determinante será zero. Isso prova a condição necessária e suficiente para a colinearidade usando determinantes.

Resposta

Três pontos , e são colineares se, e somente se,

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Um sistema de 5 variáveis é dado pela matriz aumentada:
Aplique o escalonamento à matriz e encontre a solução.
Seja uma matriz cujos autovalores são -6 e 8 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Aplique o algoritmo de escalonamento na seguinte matriz aumentada:
A partir da matriz aumentada:
resolva o sistema correspondente.