Resolva o sistema representado pela seguinte matriz aumentada:
(cccc|c 2 & 1 & -1 & 1 & 0 1 & -2 & 3 & 0 & 1 3 & 0 & 1 & 2 & -1 )

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos um sistema de equações representado por uma matriz aumentada. O assunto que vamos abordar é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar operações com linhas de matriz para simplificar e encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações a partir da matriz aumentada:
2x + y - z + w = 0 x - 2y + 3z = 1 3x + z + 2w = -1

Passo 3

Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Isso significa que vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, facilitando a resolução passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar a variável x + 0,5y - 0,5z + 0,5w = 0 das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Equação 1: (x - 2y + 3z) - (x + 0,5y - 0,5z + 0,5w) = 1 - 0 -2,5y + 3,5z - 0,5w = 1
Equação 2:
Equação 3:
Para eliminar da equação 2, podemos multiplicar a equação 1 por 0,5 e subtrair da equação 2:
Multiplicando a equação 1 por 0,5:
Subtraindo da equação 2:

Passo 5

Agora, vamos eliminar 3x + 1,5y - 1,5z + 1,5w = 0 da equação 3. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 1,5 e subtraímos da equação 3:
Multiplicando a equação 1 por 1,5:
(3x + z + 2w) - (3x + 1,5y - 1,5z + 1,5w) = -1 - 0 -1,5y + 2,5z + 0,5w = -1
Subtraindo da equação 3:

Passo 6

Agora, temos um sistema simplificado com duas equações e três variáveis:
-2,5y + 3,5z - 0,5w = 1 -1,5y + 2,5z + 0,5w = -1
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre e .

Passo 7

Para eliminar uma das variáveis, vamos multiplicar a segunda equação por 2 e somar com a primeira:
Multiplicando a segunda equação por 2:
-3y + 5z + w = -2
Somando com a primeira equação:
(-2,5y + 3,5z - 0,5w) + (-3y + 5z + w) = 1 + (-2) -5,5y + 8,5z + 0,5w = -1

Passo 8

Agora, vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos resolver para 0,5w = -1 + 5,5y - 8,5z w = -1 + 5,5y - 8,5z0,5 w = -2 + 11y - 17z :

Passo 9

Com -1,5y + 2,5z + 0,5(-2 + 11y - 17z) = -1 -1,5y + 2,5z -1 + 5,5y - 8,5z = -1 4y - 6z -1 = -1 4y - 6z = 0 2y - 3z = 0 y = 3z2 expresso em termos de e , podemos substituir esse valor de volta nas equações anteriores para encontrar e .
Substituindo na segunda equação simplificada:

Passo 10

Agora que temos w = -2 + 11(3z2) - 17z w = -2 + 33z2 - 17z w = -2 + 33z - 34z2 w = -2 - z2 em termos de , podemos substituir de volta para encontrar :

Passo 11

Por fim, substituímos 2x + y - z + w = 0 2x + 3z2 - z + (-2 - z2) = 0 2x + 3z - 2z - z2 - 2 = 0 2x + 0 - 2 = 0 2x = 2 x = 1 e na primeira equação original para encontrar :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 1 y = 3z2 w = -2 - z2
Onde é um parâmetro livre que pode assumir qualquer valor real.

Exercícios relacionados