Resolva o sistema representado pela seguinte matriz aumentada:

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos um sistema de equações representado por uma matriz aumentada. O assunto que vamos abordar é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar operações com linhas de matriz para simplificar e encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações a partir da matriz aumentada:

Passo 3

Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Isso significa que vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, facilitando a resolução passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar a variável das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Equação 1:
Equação 2:
Equação 3:
Para eliminar da equação 2, podemos multiplicar a equação 1 por 0,5 e subtrair da equação 2:
Multiplicando a equação 1 por 0,5:
Subtraindo da equação 2:

Passo 5

Agora, vamos eliminar da equação 3. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 1,5 e subtraímos da equação 3:
Multiplicando a equação 1 por 1,5:
Subtraindo da equação 3:

Passo 6

Agora, temos um sistema simplificado com duas equações e três variáveis:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre e .

Passo 7

Para eliminar uma das variáveis, vamos multiplicar a segunda equação por 2 e somar com a primeira:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:

Passo 8

Agora, vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos resolver para :

Passo 9

Com expresso em termos de e , podemos substituir esse valor de volta nas equações anteriores para encontrar e .
Substituindo na segunda equação simplificada:

Passo 10

Agora que temos em termos de , podemos substituir de volta para encontrar :

Passo 11

Por fim, substituímos e na primeira equação original para encontrar :

Resposta

As soluções do sistema são:
Onde é um parâmetro livre que pode assumir qualquer valor real.

Exercícios relacionados

A partir da matriz aumentada:
resolva o sistema correspondente.
Aplique o algoritmo de escalonamento na seguinte matriz aumentada:
Um sistema linear é dado por:
Resolva o sistema e determine sua consistência.
Considere o seguinte sistema de equações lineares nas incógnitas e .:
Determine todos os valores de para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
© tem infinitas soluções. Neste caso, determine o conjunto solução do sistema.