Resolva o sistema representado pela seguinte matriz aumentada:
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos um sistema de equações representado por uma matriz aumentada. O assunto que vamos abordar é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar operações com linhas de matriz para simplificar e encontrar os valores das variáveis.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema de equações a partir da matriz aumentada:
2x + y - z + w = 0 x - 2y + 3z = 1 3x + z + 2w = -1
Passo 3
Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Isso significa que vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, facilitando a resolução passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos eliminar a variável x + 0,5y - 0,5z + 0,5w = 0 das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Agora, vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos resolver para 0,5w = -1 + 5,5y - 8,5z w = -1 + 5,5y - 8,5z0,5 w = -2 + 11y - 17z :
Passo 9
Com -1,5y + 2,5z + 0,5(-2 + 11y - 17z) = -1 -1,5y + 2,5z -1 + 5,5y - 8,5z = -1 4y - 6z -1 = -1 4y - 6z = 0 2y - 3z = 0 y = 3z2 expresso em termos de e , podemos substituir esse valor de volta nas equações anteriores para encontrar e .
Substituindo na segunda equação simplificada:
Passo 10
Agora que temos w = -2 + 11(3z2) - 17z w = -2 + 33z2 - 17z w = -2 + 33z - 34z2 w = -2 - z2 em termos de , podemos substituir de volta para encontrar :
Passo 11
Por fim, substituímos 2x + y - z + w = 0 2x + 3z2 - z + (-2 - z2) = 0 2x + 3z - 2z - z2 - 2 = 0 2x + 0 - 2 = 0 2x = 2 x = 1 e na primeira equação original para encontrar :
Resposta
As soluções do sistema são:
x = 1 y = 3z2 w = -2 - z2
Onde é um parâmetro livre que pode assumir qualquer valor real.