Resolva o sistema representado pela seguinte matriz aumentada:
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos um sistema de equações representado por uma matriz aumentada. O assunto que vamos abordar é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver esse sistema, vamos precisar aplicar operações com linhas de matriz para simplificar e encontrar os valores das variáveis.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema de equações a partir da matriz aumentada:
Passo 3
Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Isso significa que vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, facilitando a resolução passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos eliminar a variável das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Equação 1: Equação 2: Equação 3:
Para eliminar da equação 2, podemos multiplicar a equação 1 por 0,5 e subtrair da equação 2:
Multiplicando a equação 1 por 0,5:
Subtraindo da equação 2:
Passo 5
Agora, vamos eliminar da equação 3. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 1,5 e subtraímos da equação 3:
Multiplicando a equação 1 por 1,5:
Subtraindo da equação 3:
Passo 6
Agora, temos um sistema simplificado com duas equações e três variáveis:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre e .
Passo 7
Para eliminar uma das variáveis, vamos multiplicar a segunda equação por 2 e somar com a primeira:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Passo 8
Agora, vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos resolver para :
Passo 9
Com expresso em termos de e , podemos substituir esse valor de volta nas equações anteriores para encontrar e .
Substituindo na segunda equação simplificada:
Passo 10
Agora que temos em termos de , podemos substituir de volta para encontrar :
Passo 11
Por fim, substituímos e na primeira equação original para encontrar :
Resposta
As soluções do sistema são:
Onde é um parâmetro livre que pode assumir qualquer valor real.