A partir da matriz aumentada:
(cccc|c 1 & 2 & -1 & 3 & 4 2 & 4 & -2 & 6 & 8 3 & 6 & -3 & 9 & 12 )
resolva o sistema correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que está representado por uma matriz aumentada. O assunto aqui é sistemas lineares e vamos precisar usar operações elementares de linha para simplificar a matriz e encontrar as soluções. Vamos dar uma olhada na matriz que temos:
(cccc|c 1 & 2 & -1 & 3 & 4 2 & 4 & -2 & 6 & 8 3 & 6 & -3 & 9 & 12 )

Passo 2

Primeiro, vamos observar se há alguma relação entre as linhas da matriz. Vemos que a segunda linha é igual a 2 vezes a primeira linha e a terceira linha é 3 vezes a primeira linha. Isso significa que todas as linhas são múltiplos umas das outras, indicando que as equações são dependentes.

Passo 3

Como as equações são dependentes, isso significa que não temos três equações independentes para três variáveis. Portanto, o sistema não vai nos dar uma única solução, mas sim um conjunto de soluções que dependem de um ou mais parâmetros livres.

Passo 4

Vamos escolher uma das variáveis para ser livre. Por exemplo, podemos escolher como variável livre e atribuir a ela um parâmetro, digamos . Assim, .

Passo 5

Agora, vamos expressar as outras variáveis em termos de 1x1 + 2x2 - 1x3 + 3x4 = 4 . Usando a primeira equação da matriz original:
x1 + 2x2 - x3 + 3t = 4 Rightarrow x1 = 4 - 2x2 + x3 - 3t
Substituindo por :

Passo 6

Como temos mais de uma variável livre (no caso, e ), podemos atribuir parâmetros para ambas. Vamos definir e , onde e são parâmetros livres.

Passo 7

Substituindo x1 = 4 - 2s + r - 3t x2 = s x3 = r x4 = t e nas expressões anteriores:

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = 4 - 2s + r - 3t x2 = s x3 = r x4 = t
Onde , e são números reais qualquer, ou seja, o sistema possui infinitas soluções parametrizadas por esses três parâmetros.

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