Um sistema de 5 variáveis é dado pela matriz aumentada:
Aplique o escalonamento à matriz e encontre a solução.
Passo 1
Então, a gente tem aqui um sistema de 5 variáveis representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é resolver esse sistema, ou seja, encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de escalonamento, que basicamente transforma a matriz para uma forma mais simples, facilitando encontrar as soluções. Vamos precisar aplicar operações básicas nas linhas da matriz, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1, o que já está feito. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1. Para isso, fazemos:
- Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
L2 = L2 - 2 times L1 - Subtrair 1 vez a primeira linha da terceira linha:
L3 = L3 - 1 times L1 - Subtrair 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
L4 = L4 - 3 times L1 - A quinta linha já tem 0 na primeira posição, então não precisa mudar.
Após essas operações, a matriz fica assim:
Passo 3
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda coluna seja 1. Como está -1, multiplicamos a segunda linha por -1:
A matriz agora fica:
Passo 4
Com o 1 na segunda posição, vamos zerar os elementos abaixo e acima dele na segunda coluna:
- Adicionar 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
L3 = L3 + 3 times L2 - Adicionar 5 vezes a segunda linha à quarta linha:
L4 = L4 + 5 times L2 - Subtrair 2 vezes a segunda linha da quinta linha:
L5 = L5 - 2 times L2 - Subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
L1 = L1 - 2 times L2
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento dessa coluna seja 1. Como está 5, dividimos a terceira linha por 5:
A matriz fica:
Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1 na terceira coluna:
- Adicionar 1 vez a terceira linha à primeira linha:
L1 = L1 + 1 times L3 - Subtrair 1 vez a terceira linha da segunda linha:
L2 = L2 - 1 times L3 - Subtrair 3 vezes a terceira linha da quarta linha:
L4 = L4 - 3 times L3 - Adicionar 3 vezes a terceira linha à quinta linha:
L5 = L5 + 3 times L3
Após essas operações, a matriz fica:
Resposta
Após o escalonamento, resolvendo as equações, a solução do sistema é: