Um sistema de 5 variáveis é dado pela matriz aumentada:
(ccccc:c 1 & 2 & 1 & -1 & 3 & 5 2 & 3 & 1 & 1 & 2 & 8 1 & -1 & 3 & 2 & -1 & 4 3 & 1 & 1 & 0 & 4 & 9 0 & 2 & -1 & 3 & 2 & 6 )
Aplique o escalonamento à matriz e encontre a solução.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um sistema de 5 variáveis representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é resolver esse sistema, ou seja, encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de escalonamento, que basicamente transforma a matriz para uma forma mais simples, facilitando encontrar as soluções. Vamos precisar aplicar operações básicas nas linhas da matriz, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1, o que já está feito. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1. Para isso, fazemos:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha: L2 = L2 - 2 times L1
  • Subtrair 1 vez a primeira linha da terceira linha: L3 = L3 - 1 times L1
  • Subtrair 3 vezes a primeira linha da quarta linha: L4 = L4 - 3 times L1
  • A quinta linha já tem 0 na primeira posição, então não precisa mudar.
Após essas operações, a matriz fica assim:
(ccccc:c 1 & 2 & 1 & -1 & 3 & 5 0 & -1 & -1 & 3 & -4 & -2 0 & -3 & 2 & 3 & -4 & -1 0 & -5 & -2 & 3 & -5 & -6 0 & 2 & -1 & 3 & 2 & 6 )

Passo 3

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda coluna seja 1. Como está -1, multiplicamos a segunda linha por -1:
L2 = -1 times L2
A matriz agora fica:
(ccccc:c 1 & 2 & 1 & -1 & 3 & 5 0 & 1 & 1 & -3 & 4 & 2 0 & -3 & 2 & 3 & -4 & -1 0 & -5 & -2 & 3 & -5 & -6 0 & 2 & -1 & 3 & 2 & 6 )

Passo 4

Com o 1 na segunda posição, vamos zerar os elementos abaixo e acima dele na segunda coluna:
  • Adicionar 3 vezes a segunda linha à terceira linha: L3 = L3 + 3 times L2
  • Adicionar 5 vezes a segunda linha à quarta linha: L4 = L4 + 5 times L2
  • Subtrair 2 vezes a segunda linha da quinta linha: L5 = L5 - 2 times L2
  • Subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha: L1 = L1 - 2 times L2
Após essas operações, a matriz fica:
(ccccc:c 1 & 0 & -1 & 5 & -5 & 1 0 & 1 & 1 & -3 & 4 & 2 0 & 0 & 5 & -6 & 8 & 5 0 & 0 & 3 & -12 & 15 & 4 0 & 0 & -3 & 9 & -6 & 2 )

Passo 5

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento dessa coluna seja 1. Como está 5, dividimos a terceira linha por 5:
L3 = 15 times L3
A matriz fica:
(ccccc:c 1 & 0 & -1 & 5 & -5 & 1 0 & 1 & 1 & -3 & 4 & 2 0 & 0 & 1 & -65 & 85 & 1 0 & 0 & 3 & -12 & 15 & 4 0 & 0 & -3 & 9 & -6 & 2 )
Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1 na terceira coluna:
  • Adicionar 1 vez a terceira linha à primeira linha: L1 = L1 + 1 times L3
  • Subtrair 1 vez a terceira linha da segunda linha: L2 = L2 - 1 times L3
  • Subtrair 3 vezes a terceira linha da quarta linha: L4 = L4 - 3 times L3
  • Adicionar 3 vezes a terceira linha à quinta linha: L5 = L5 + 3 times L3
Após essas operações, a matriz fica:
(ccccc:c 1 & 0 & 0 & 195 & -175 & 2 0 & 1 & 0 & -95 & 125 & 1 0 & 0 & 1 & -65 & 85 & 1 0 & 0 & 0 & -65 & 95 & 1 0 & 0 & 0 & 35 & 185 & 5 )

Resposta

Após o escalonamento, resolvendo as equações, a solução do sistema é:
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 5

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