Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela curva
usando o corolário do Teorema de Green. Isso está relacionado com cálculo de áreas usando integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para encontrar áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da curva para entender melhor o formato dela. A equação dada é:
Dividindo tudo por 36 para deixar a equação na forma padrão de uma elipse:
Isso mostra que estamos lidando com uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 3 (em
) e 2 (em
).
Passo 3
Agora, vamos lembrar o Corolário do Teorema de Green que nos permite calcular a área
de uma região
fechada pela curva
. O corolário diz que:
Isso significa que podemos calcular a área fazendo uma integral de linha ao redor da curva usando essa expressão.
Passo 4
Para aplicar o corolário, precisamos parametrizar a curva
. Vamos usar uma parametrização padrão para uma elipse. Seja:
onde
varia de
a
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Substituindo
,
,
e
na expressão para
:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 7
Fatorando o 6:
porque
.
Passo 8
Calculando a integral:
Resposta
A área da região limitada pela curva
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a elipse de equação
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a fronteira do triângulo delimitado pelas retas
e
.
Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da reta
entre
e
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a circunferência
.