Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
4 x^2 + 9 y^2 = 36

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela curva usando o corolário do Teorema de Green. Isso está relacionado com cálculo de áreas usando integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para encontrar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da curva para entender melhor o formato dela. A equação dada é:
Dividindo tudo por 36 para deixar a equação na forma padrão de uma elipse:
Isso mostra que estamos lidando com uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 3 (em ) e 2 (em ).

Passo 3

Agora, vamos lembrar o Corolário do Teorema de Green que nos permite calcular a área de uma região fechada pela curva . O corolário diz que:
Isso significa que podemos calcular a área fazendo uma integral de linha ao redor da curva usando essa expressão.

Passo 4

Para aplicar o corolário, precisamos parametrizar a curva . Vamos usar uma parametrização padrão para uma elipse. Seja:
onde varia de a .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 6

Substituindo , , e na expressão para :
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 7

Fatorando o 6:
porque .

Passo 8

Calculando a integral:

Resposta

A área da região limitada pela curva é unidades de área.

Exercícios relacionados

Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=x y ; C é a elipse de equação 4 x^2+9 y^2=36.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=x^2+y^2 ; Q=-2 x y ; C é a fronteira do triângulo delimitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1.
Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) ao longo da reta c(t) = (t, t, t) entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1).
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, x+y) ; C é a circunferência x^2+y^2=2.