Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) ao longo da reta c(t) = (t, t, t) entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de um campo vetorial, especificamente , ao longo de uma reta definida por que vai do ponto até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais precisamente, a integral de linha de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a parametrização da curva . A função já está parametrizada de forma simples, onde varia de 0 a 1 para ir de até .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que é . Isso nos dá o vetor tangente à curva, necessário para a integral de linha.

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função do campo vetorial para encontrar :

Passo 5

Agora, calculamos o produto interno (dot product) entre e :

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão em relação a no intervalo de 0 a 1:

Resposta

A integral do campo vetorial ao longo da reta dada é igual a 3.

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Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
4 x^2 + 9 y^2 = 36
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=x y ; C é a elipse de equação 4 x^2+9 y^2=36.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, x+y) ; C é a circunferência x^2+y^2=2.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, y) ; C é o caminho dado pelas retas; x=1, x=-1 ; y=1 e y=-1.