Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da reta
entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de um campo vetorial, especificamente
, ao longo de uma reta definida por
que vai do ponto
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais precisamente, a integral de linha de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a parametrização da curva
. A função
já está parametrizada de forma simples, onde
varia de 0 a 1 para ir de
até
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dá o vetor tangente à curva, necessário para a integral de linha.
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização
na função do campo vetorial
para encontrar
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto interno (dot product) entre
e
:
Passo 6
Finalmente, integramos essa expressão em relação a
no intervalo de 0 a 1:
Resposta
A integral do campo vetorial ao longo da reta dada é igual a 3.
Exercícios relacionados
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a elipse de equação
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a circunferência
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o caminho dado pelas retas;
e
.