Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral de linha
, onde o campo vetorial
. A curva
é uma circunferência dada por
. Vamos usar o Teorema de Green para calcular essa integral. O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Para isso, precisamos identificar
e
, calcular as derivadas parciais e depois integrar sobre a área da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que faz o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui,
é a região dentro da curva
. No nosso caso,
é a circunferência
, então
é o disco com raio
.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
. Nossa região
é um círculo de raio
, então
varia de
a
e
varia de
a
.
Passo 6
Vamos expressar a função que vamos integrar em coordenadas polares:
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna com respeito a
primeiro:
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa expressão com respeito a
de
a
:
Calculando cada parte:
Portanto:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da reta
entre
e
.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o caminho dado pelas retas;
e
.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
e