Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, x+y) ; C é a circunferência x^2+y^2=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma integral de linha ointC P, dx + Q, dy, onde o campo vetorial F(x, y) = (P, Q) = (x^2 + y^2, x + y). A curva C é uma circunferência dada por x^2 + y^2 = 2. Vamos usar o Teorema de Green para calcular essa integral. O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Para isso, precisamos identificar P e Q, calcular as derivadas parciais e depois integrar sobre a área da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que faz o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, D é a região dentro da curva C. No nosso caso, C é a circunferência x^2 + y^2 = 2, então D é o disco com raio raiz2.

Passo 3

Vamos identificar as funções P e Q do nosso campo vetorial:
P = x^2 + y^2 Q = x + y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + y) = 1 partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD (1 - 2y), dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região D.

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta, e o elemento de área dA = r, dr, dtheta. Nossa região D é um círculo de raio raiz2, então r varia de 0 a raiz2 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 6

Vamos expressar a função que vamos integrar em coordenadas polares:
1 - 2y = 1 - 2rsintheta
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (1 - 2rsintheta), dA = integral0^2pi integral0^raiz2 (1 - 2rsintheta) cdot r, dr, dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna com respeito a r primeiro:
integral0^raiz2 (1 - 2rsintheta) cdot r, dr = integral0^raiz2 (r - 2r^2sintheta), dr
Integrando termo a termo:
integral0^raiz2 r, dr = [ r^22 ]0^raiz2 = (raiz2)^22 = 22 = 1
integral0^raiz2 2r^2sintheta, dr = 2sintheta integral0^raiz2 r^2, dr = 2sintheta [ r^33 ]0^raiz2 = 2sintheta cdot (raiz2)^33 = 2sintheta cdot 2raiz23 = 4raiz23sintheta
Portanto, a integral interna fica:
1 - 4raiz23sintheta

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão com respeito a theta de 0 a 2pi:
integral0^2pi (1 - 4raiz23sintheta) dtheta = integral0^2pi 1, dtheta - 4raiz23integral0^2pi sintheta, dtheta
Calculando cada parte:
integral0^2pi 1, dtheta = 2pi
integral0^2pi sintheta, dtheta = 0
Portanto:
2pi - 4raiz23 cdot 0 = 2pi

Resposta

A integral ointC P, dx + Q, dy vale 2pi.

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Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) ao longo da reta c(t) = (t, t, t) entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1).
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
4 x^2 + 9 y^2 = 36
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, y) ; C é o caminho dado pelas retas; x=1, x=-1 ; y=1 e y=-1.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
y = x e y = x^2