Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=x y ; C é a elipse de equação 4 x^2+9 y^2=36.

Passo 1

Vamos resolver o exercício usando o Teorema de Green. A questão nos pede para calcular a integral de linha ointC P,dx + Q,dy, onde P = y^2, Q = x y, e C é a elipse dada por 4x^2 + 9y^2 = 36.

Passo 2

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A formulação do teorema é:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde D é a região dentro da curva C.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (x y)partial x = y
partial Ppartial y = partial (y^2)partial y = 2y

Passo 4

Substituindo estas derivadas na expressão do Teorema de Green:
ointC y^2 dx + x y dy = integral duplaD (y - 2y) dA = integral duplaD (-y) dA

Passo 5

Para calcular a integral dupla sobre a elipse 4x^2 + 9y^2 = 36, vamos simplificar a região de integração através de uma mudança de variável. Dividimos ambos os lados da equação da elipse por 36:
x^29 + y^24 = 1
Definindo as novas variáveis:
u = x3, v = y2
Então, a equação da elipse se transforma na equação de uma circunferência unitária:
u^2 + v^2 = 1

Passo 6

Calculamos o determinante jacobiano da transformação:
partial(x, y)partial(u, v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 3 & 0 0 & 2 = 3 times 2 = 6

Passo 7

Expressando a integral dupla na nova coordenada:
integral duplaD (-y) dA = -integral duplaD y dA = -integral duplau^2+v^2 <= 1 2v times 6 du dv = -12 integral duplau^2+v^2 <= 1 v du dv

Passo 8

Observamos que a função v é ímpar em v, e estamos integrando sobre uma região simétrica em relação ao eixo v. Portanto, a integral de v sobre a circunferência unitária é zero.

Resposta

O valor da integral é 0.

Exercícios relacionados

Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=x^2+y^2 ; Q=-2 x y ; C é a fronteira do triângulo delimitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1.
Calcule a integral de linha de F(x, y) = (2xy, -3xy) em torno do quadrado limitado pelas retas x=3, x=5, y=1 e y = 3 no sentido anti-horário.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
4 x^2 + 9 y^2 = 36
Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) ao longo da reta c(t) = (t, t, t) entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1).