Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral . é a elipse de equação .
Passo 1
Vamos resolver o exercício usando o Teorema de Green. A questão nos pede para calcular a integral de linha , onde , , e é a elipse dada por .
Passo 2
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A formulação do teorema é:
Onde é a região dentro da curva .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo estas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Para calcular a integral dupla sobre a elipse , vamos simplificar a região de integração através de uma mudança de variável. Dividimos ambos os lados da equação da elipse por 36:
Definindo as novas variáveis:
Então, a equação da elipse se transforma na equação de uma circunferência unitária:
Passo 6
Calculamos o determinante jacobiano da transformação:
Passo 7
Expressando a integral dupla na nova coordenada:
integral duplaD (-y) dA = -integral duplaD y dA = -integral duplau^2+v^2 <= 1 2v times 6 du dv = -12 integral duplau^2+v^2 <= 1 v du dv
Passo 8
Observamos que a função v é ímpar em v, e estamos integrando sobre uma região simétrica em relação ao eixo v. Portanto, a integral de v sobre a circunferência unitária é zero.