Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=x^2+y^2 ; Q=-2 x y ; C é a fronteira do triângulo delimitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC P dx + Q dy, onde P = x^2 + y^2 e Q = -2xy. A curva C é a fronteira de um triângulo formado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1. Para resolver isso, vamos transformar a integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • Derivada de Q em relação a x:
    partial Qpartial x = partial (-2xy)partial x = -2y
  • Derivada de P em relação a y:
    partial Ppartial y = partial (x^2 + y^2)partial y = 2y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( -2y - 2y ) dx dy = integral duplaD (-4y) dx dy

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D, que é o triângulo delimitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1. Podemos expressar y em função de x:
y = 1 - x
Então, x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de 0 a 1 - x.

Passo 6

Configurando a integral dupla com os limites determinados:
integral0^1 integral0^1 - x (-4y) , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral0^1 - x (-4y) , dy = -4 [ y^22 ]0^1 - x = -4 ( (1 - x)^22 ) = -2(1 - x)^2

Passo 8

Agora, resolvemos a integral externa em relação a x:
integral0^1 -2(1 - x)^2 , dx
Vamos expandir (1 - x)^2:
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Então, a integral fica:
-2 integral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx = -2 [ x - x^2 + x^33 ]0^1 = -2 (1 - 1 + 13 ) = -2 ( 13 ) = -23

Resposta

A integral ointC P dx + Q dy vale -dfrac23.

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Calcule a integral de linha de F(x, y) = (2xy, -3xy) em torno do quadrado limitado pelas retas x=3, x=5, y=1 e y = 3 no sentido anti-horário.
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (-y)/(x^2 + y^2), (x)/(x^2 + y^2) ao longo da circunferência x^2 + y^2 = 2 de 1,1 a (-raiz(2), 0), no sentido anti-horário.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=x y ; C é a elipse de equação 4 x^2+9 y^2=36.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
4 x^2 + 9 y^2 = 36