Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a fronteira do triângulo delimitado pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
e
. A curva
é a fronteira de um triângulo formado pelas retas
,
e
. Para resolver isso, vamos transformar a integral de linha em uma integral dupla usando o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
, que é o triângulo delimitado pelas retas
,
e
. Podemos expressar
em função de
:
Então,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 6
Configurando a integral dupla com os limites determinados:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha de
em torno do quadrado limitado pelas retas
e
no sentido anti-horário.
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo da circunferência
de
a
, no sentido anti-horário.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a elipse de equação
.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por: