Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
x = a * cos(t) e y = b ent com 0 <= t <= 2 pi. ( sentido anti-horário).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e qual matéria vamos usar para resolver. A tarefa é aplicar o corolário do Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pela curva definida por e , onde o parâmetro t varia de 0 a no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como usar sua forma corolária específica para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green e seu corolário relacionado à área. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Quando queremos calcular apenas a área A dessa região, podemos usar o seguinte corolário do Teorema de Green:
Essa fórmula nos permite calcular a área utilizando uma integral de linha ao longo da curva C.

Passo 3

Agora, vamos substituir as funções paramétricas x(t) e y(t) na fórmula da área. Sabemos que:
Para calcular e , derivamos x e y em relação a t:

Passo 4

Substituindo x, y, e na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Fatorando :
Sabemos que , então a integral se simplifica para:

Resposta

A área da região limitada pela curva é .

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