Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
e
ent com
. ( sentido anti-horário).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e qual matéria vamos usar para resolver. A tarefa é aplicar o corolário do Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pela curva definida por
e
, onde o parâmetro
varia de
a
no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como usar sua forma corolária específica para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green e seu corolário relacionado à área. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Quando queremos calcular apenas a área
dessa região, podemos usar o seguinte corolário do Teorema de Green:
Essa fórmula nos permite calcular a área utilizando uma integral de linha ao longo da curva
.
Passo 3
Agora, vamos substituir as funções paramétricas
e
na fórmula da área. Sabemos que:
Para calcular
e
, derivamos
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Fatorando
:
Sabemos que
, então a integral se simplifica para:
Resposta
A área da região limitada pela curva é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a circunferência
.
Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da reta
entre
e
.
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo da curva
de
a
.
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo da circunferência
de
a
, no sentido anti-horário.