Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
x = a * cos(t) e y = b ent com 0 <= t <= 2 pi. ( sentido anti-horário).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e qual matéria vamos usar para resolver. A tarefa é aplicar o corolário do Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pela curva definida por e , onde o parâmetro t varia de 0 a no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e como usar sua forma corolária específica para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green e seu corolário relacionado à área. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Quando queremos calcular apenas a área A dessa região, podemos usar o seguinte corolário do Teorema de Green:
Essa fórmula nos permite calcular a área utilizando uma integral de linha ao longo da curva C.

Passo 3

Agora, vamos substituir as funções paramétricas x(t) e y(t) na fórmula da área. Sabemos que:
Para calcular e , derivamos x e y em relação a t:

Passo 4

Substituindo x, y, e na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Fatorando :
Sabemos que , então a integral se simplifica para:

Resposta

A área da região limitada pela curva é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=2 x-3 y ; C é a circunferência x^2+y^2=9.
Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = (2x, 3y, 4z) ao longo da reta c(t) = (t, t, t) entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1).
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (y^2, -x) ao longo da curva x = y^2 / 4 de (0,0) a 1,2.
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (-y)/(x^2 + y^2), (x)/(x^2 + y^2) ao longo da circunferência x^2 + y^2 = 2 de 1,1 a (-raiz(2), 0), no sentido anti-horário.