Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (y^2, -x) ao longo da curva x = y^2 / 4 de (0,0) a 1,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva definida por , indo do ponto até . Isso entra na matéria de Cálculo Vetorial, especificamente nas integrais de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função , e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Sabemos que . Vamos usar como parâmetro. Assim, podemos definir:
onde varia de 0 a 2, porque nosso ponto inicial é e o final é . Então, temos:
Portanto, nossa parametrização é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a , que é :
Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na função :
Então,

Passo 5

Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Calculando nos limites:

Resposta

A integral do campo vetorial ao longo da curva é .

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Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
x = a * cos(t) e y = b ent com 0 <= t <= 2 pi. ( sentido anti-horário).
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=2 x-3 y ; C é a circunferência x^2+y^2=9.
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (-y)/(x^2 + y^2), (x)/(x^2 + y^2) ao longo da circunferência x^2 + y^2 = 2 de 1,1 a (-raiz(2), 0), no sentido anti-horário.
Calcule a integral de linha de F(x, y) = (2xy, -3xy) em torno do quadrado limitado pelas retas x=3, x=5, y=1 e y = 3 no sentido anti-horário.