Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo da curva
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva definida por
, indo do ponto
até
. Isso entra na matéria de Cálculo Vetorial, especificamente nas integrais de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir na função
, e então calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Sabemos que
. Vamos usar
como parâmetro. Assim, podemos definir:
onde
varia de 0 a 2, porque nosso ponto inicial é
e o final é
. Então, temos:
Portanto, nossa parametrização é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a
, que é
:
Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na função
:
Então,
Passo 5
Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Calculando nos limites:
Resposta
A integral do campo vetorial ao longo da curva é
.