Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = (2x, 3y, 4z) ao longo da reta c(t) = (t, t, t) entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da reta entre os pontos e . Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, parametrizar a reta, substituir na função vetorial e então realizar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta. A curva já está parametrizada em termos de , onde varia de 0 a 1 para ir de a .

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada da parametrização em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva:

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função vetorial :

Passo 5

Calculamos o produto escalar entre e :

Passo 6

Por fim, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1:

Resposta

A integral do campo vetorial ao longo da reta entre e é igual a 4,5.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (x^2 - y^2, x) ao longo do arco do primeiro quadrante da circunferência x^2 + y^2 = 4 de 0,2 a 2,0.
Calcule as integrais iteradas. integral1^4 integral0^pi / 2 x sin y d y d x
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=2 x-3 y ; C é a circunferência x^2+y^2=9.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
x = a * cos(t) e y = b ent com 0 <= t <= 2 pi. ( sentido anti-horário).