Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (-y)/(x^2 + y^2), (x)/(x^2 + y^2) ao longo da circunferência x^2 + y^2 = 2 de 1,1 a (-raiz(2), 0), no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial específico ao longo de uma circunferência. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo vetorial, como parametrizar uma curva e como calcular a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial dado:
Esse campo representa vetores que dependem das coordenadas e . Nosso objetivo é calcular a integral desse campo ao longo da circunferência , de a , no sentido anti-horário.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva. Como estamos lidando com uma circunferência, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. A equação da circunferência é , então podemos parametrizar e em função de um ângulo :
Aqui, varia de um ponto inicial a um ponto final na circunferência.

Passo 4

Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial e na integral. A integral de linha se transforma em:
Calculando :
Substituindo e :
Calculando o produto escalar:

Passo 5

Agora, a integral simplifica bastante:
Precisamos determinar os valores de nos pontos inicial e final. No ponto :
No ponto :
Então, a integral fica:

Resposta

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