Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo da circunferência
de
a
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial específico ao longo de uma circunferência. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo vetorial, como parametrizar uma curva e como calcular a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo vetorial dado:
Esse campo representa vetores que dependem das coordenadas
e
. Nosso objetivo é calcular a integral desse campo ao longo da circunferência
, de
a
, no sentido anti-horário.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva. Como estamos lidando com uma circunferência, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. A equação da circunferência é
, então podemos parametrizar
e
em função de um ângulo
:
Aqui,
varia de um ponto inicial a um ponto final na circunferência.
Passo 4
Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial e na integral. A integral de linha
se transforma em:
Calculando
:
Substituindo
e
:
Calculando o produto escalar:
Passo 5
Agora, a integral simplifica bastante:
Precisamos determinar os valores de
nos pontos inicial e final. No ponto
:
No ponto
:
Então, a integral fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo da curva
de
a
.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
e
ent com
. ( sentido anti-horário).
Calcule a integral de linha de
em torno do quadrado limitado pelas retas
e
no sentido anti-horário.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a fronteira do triângulo delimitado pelas retas
e
.