Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral . é a circunferência .
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Green pra calcular uma integral de linha da forma , onde e . A curva é a circunferência , que é um círculo de raio 3. Então, a gente vai precisar entender o Teorema de Green e saber aplicar ele em integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
Onde:
é a curva fechada,
é a região delimitada por ,
e são funções de e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o interior do círculo . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . A região corresponde a variando de a e variando de a .
A expressão em coordenadas polares fica:
E o elemento de área em coordenadas polares é .
Passo 5
Vamos montar a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a :
Resposta
A integral ointC y^2 , dx + (2x - 3y) , dy vale 18pi.