Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=2 x-3 y ; C é a circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O exercício pede pra gente usar o Teorema de Green pra calcular uma integral de linha da forma ointC P , dx + Q , dy, onde P = y^2 e Q = 2x - 3y. A curva C é a circunferência x^2 + y^2 = 9, que é um círculo de raio 3. Então, a gente vai precisar entender o Teorema de Green e saber aplicar ele em integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde:
  • C é a curva fechada,
  • D é a região delimitada por C,
  • P e Q são funções de x e y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x - 3y) = 2
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 2y

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D, que é o interior do círculo x^2 + y^2 = 9. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. A região D corresponde a r variando de 0 a 3 e theta variando de 0 a 2pi.
A expressão 2 - 2y em coordenadas polares fica:
2 - 2y = 2 - 2rsintheta
E o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.

Passo 5

Vamos montar a integral dupla:
integral duplaD (2 - 2y) , dA = integral0^2pi integral0^3 (2 - 2rsintheta) r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^3 (2r - 2r^2sintheta) , dr = [ r^2 - 23r^3sintheta ]0^3 = 9 - 18sintheta
Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi (9 - 18sintheta) , dtheta = 9theta + 18costheta |0^2pi = 9(2pi) + 18(cos2pi - cos0) = 18pi + 18(1 - 1) = 18pi

Resposta

A integral ointC y^2 , dx + (2x - 3y) , dy vale 18pi.

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Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = (2x, 3y, 4z) ao longo da reta c(t) = (t, t, t) entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1).
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (x^2 - y^2, x) ao longo do arco do primeiro quadrante da circunferência x^2 + y^2 = 4 de 0,2 a 2,0.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
x = a * cos(t) e y = b ent com 0 <= t <= 2 pi. ( sentido anti-horário).
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (y^2, -x) ao longo da curva x = y^2 / 4 de (0,0) a 1,2.