Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra aplicar o corolário do Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. Basicamente, vamos usar um pouco de cálculo vetorial pra achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O corolário que vamos usar nos permite calcular a área diretamente usando uma integral de linha.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos onde as curvas se encontram. Igualando
e
, temos:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 4
Com isso, podemos parametrizar a curva que vai delimitar a região. Vamos percorrer a trajetória de
a
na linha reta
e depois voltar de
a
na parábola
. Aplicando o corolário do Teorema de Green, a área
é dada por:
Passo 5
Vamos calcular a integral. Primeiro, para a parte onde
:
Substituindo na integral:
Agora, para a parte onde
:
Substituindo:
Multiplicando pelo
:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o caminho dado pelas retas;
e
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a circunferência
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o quadrado de vértices
.