Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
y = x e y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra aplicar o corolário do Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelas curvas e . Basicamente, vamos usar um pouco de cálculo vetorial pra achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O corolário que vamos usar nos permite calcular a área diretamente usando uma integral de linha.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos onde as curvas se encontram. Igualando e , temos:
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Com isso, podemos parametrizar a curva que vai delimitar a região. Vamos percorrer a trajetória de a na linha reta e depois voltar de a na parábola . Aplicando o corolário do Teorema de Green, a área é dada por:

Passo 5

Vamos calcular a integral. Primeiro, para a parte onde :
Substituindo na integral:
Agora, para a parte onde :
Substituindo:
Multiplicando pelo :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, y) ; C é o caminho dado pelas retas; x=1, x=-1 ; y=1 e y=-1.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, x+y) ; C é a circunferência x^2+y^2=2.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=x+y^2 ; Q=y+x^2 ; C é o quadrado de vértices ( pm 1, pm 1).
x' = (1 -4, 4 -7) x, x(0) = (3, 2)