Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o quadrado de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a integral de linha
, onde
e
. A curva
é um quadrado com vértices em
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que:
onde
é a região dentro do contorno
. Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. Como
é um quadrado com vértices em
, a região
vai de
a
e para cada
,
também vai de
a
. Então, a integral dupla fica assim:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 7
Agora, integramos
em relação a
de
a
:
Resposta
A integral
vale 0.
Exercícios relacionados
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
e
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o caminho dado pelas retas;
e
.