Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=x+y^2 ; Q=y+x^2 ; C é o quadrado de vértices ( pm 1, pm 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a integral de linha , onde e . A curva é um quadrado com vértices em . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
onde é a região dentro do contorno . Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x(y + x^2) = 2x e partial Ppartial y = partialpartial y(x + y^2) = 2y :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD (2x - 2y) , dx , dy

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Como integral duplaD (2x - 2y) , dx , dy = integral-1^1 integral-1^1 (2x - 2y) , dy , dx é um quadrado com vértices em , a região vai de a e para cada , também vai de a . Então, a integral dupla fica assim:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral-1^1 (2x - 2y) , dy = 2x integral-1^1 dy - 2 integral-1^1 y , dy :
2x integral-1^1 dy = 2x [y]-1^1 = 2x (1 - (-1)) = 4x
Calculando cada parte:
-2 integral-1^1 y , dy = -2 [ y^22 ]-1^1 = -2 ( 12 - 12 ) = 0
Então, a integral interna resulta em .

Passo 7

Agora, integramos integral-1^1 4x , dx = 4 [ x^22 ]-1^1 = 4 ( 12 - 12 ) = 0 em relação a de a :

Resposta

A integral vale 0.

Exercícios relacionados

Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
y = x e y = x^2
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, y) ; C é o caminho dado pelas retas; x=1, x=-1 ; y=1 e y=-1.
x' = (1 -4, 4 -7) x, x(0) = (3, 2)
x' = (3 9; -1 -3)x, x(0) = (2; 4)