x' = (1 -4, 4 -7) x, x(0) = (3, 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é um sistema de equações diferenciais lineares. Basicamente, temos uma equação da forma , onde é uma matriz, e é o vetor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores da matriz , que são ferramentas chave para resolver sistemas lineares dessa natureza.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Isso envolve resolver a equação característica, que é dada por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Nossa matriz é:
Então, montamos a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor duplo: .

Passo 3

Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar autovetores e, possivelmente, um vetor generalizado para formar a solução geral.
Para , resolvemos :
Isso leva ao sistema:
Simplificando, temos . Então, um autovetor associado é:
Como o autovalor é repetido e a matriz não possui uma segunda solução independente, precisamos encontrar um vetor generalizado que satisfaz:

Resolvendo:
[


]
Isso nos dá:
Simplificando:
Podemos escolher , então . Assim, o vetor generalizado é:

Passo 4

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema. Para autovalores repetidos, a solução geral é dada por:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Substituindo nossos valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar e .

Substituindo :
[


]
Isso nos dá:

Resposta

A solução do sistema é:

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