Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é um sistema de equações diferenciais lineares. Basicamente, temos uma equação da forma
, onde
é uma matriz, e
é o vetor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores da matriz
, que são ferramentas chave para resolver sistemas lineares dessa natureza.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Isso envolve resolver a equação característica, que é dada por
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Nossa matriz
é:
Então, montamos a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor duplo:
.
Passo 3
Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar autovetores e, possivelmente, um vetor generalizado para formar a solução geral.
Para
, resolvemos
:
Isso leva ao sistema:
Simplificando, temos
. Então, um autovetor associado é:
Como o autovalor é repetido e a matriz
não possui uma segunda solução independente, precisamos encontrar um vetor generalizado
que satisfaz:
Resolvendo:
[
]
Isso nos dá:
Simplificando:
Podemos escolher
, então
. Assim, o vetor generalizado é:
Passo 4
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema. Para autovalores repetidos, a solução geral é dada por:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Substituindo nossos valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
e
.
Substituindo
:
[
]
Isso nos dá:
Resposta
A solução do sistema é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o quadrado de vértices
.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
e
Defina sequência. O que significa dizer, formalmente e intuitivamente, que uma sequência converge para
?