Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
F(x, y)=(x^2+y^2, y) ; C é o caminho dado pelas retas; x=1, x=-1 ; y=1 e y=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de Cálculo Vetorial, especificamente usando o Teorema de Green para calcular uma integral de linha. A gente vai precisar entender como aplicar esse teorema e como configurar a integral dupla que ele envolve. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy com uma integral dupla sobre a região que está dentro desse caminho. Matemáticamente, ele é expresso assim:
Isso significa que, em vez de calcular a integral ao longo do contorno , podemos calcular uma integral dupla sobre a área , o que muitas vezes é mais fácil.

Passo 3

No nosso exercício, a função vetorial é dada por partial Qpartial x = partial ypartial x = 0 . Então, identificamos partial Ppartial y = partial (x^2 + y^2)partial y = 2y e partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 2y = -2y .
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo essas na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região integral duplaD (-2y) , dx , dy = integralx=-1^1 integraly=-1^1 (-2y) , dy , dx . A região é o quadrado delimitado pelas retas , , e . Então, os limites de integração são de a e de a .
A integral dupla fica assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly=-1^1 (-2y) , dy :
-2 integral-1^1 y , dy = -2 [ y^22 ]-1^1 = -2 ( 12 - 12 ) = -2 (0) = 0
Integrando:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=-1^1 0 , dx = 0

Resposta

A integral é igual a 0.

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