Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o caminho dado pelas retas;
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de Cálculo Vetorial, especificamente usando o Teorema de Green para calcular uma integral de linha. A gente vai precisar entender como aplicar esse teorema e como configurar a integral dupla que ele envolve. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro desse caminho. Matemáticamente, ele é expresso assim:
Isso significa que, em vez de calcular a integral ao longo do contorno
, podemos calcular uma integral dupla sobre a área
, o que muitas vezes é mais fácil.
Passo 3
No nosso exercício, a função vetorial é dada por
. Então, identificamos
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo essas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
. A região
é o quadrado delimitado pelas retas
,
,
e
. Então, os limites de integração são de
a
e de
a
.
A integral dupla fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Integrando:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a circunferência
.
Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da reta
entre
e
.
Aplique o corolário do teorema de Green para calcular a área da região limitada por:
e
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é o quadrado de vértices
.