Aplique a definição para encontrar diretamente as transformadas de Laplace das funções descritas:
.
Resposta: ,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão nos solicita que apliquemos a definição para encontrar diretamente a transformada de Laplace da função dada, que é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função é definida pela integral:
No nosso caso, . Então, substituímos na integral:

Passo 3

Para resolver essa integral, podemos utilizar uma fórmula padrão da transformada de Laplace para funções cosseno. A fórmula é:
Aqui, é uma constante. No nosso exercício, porque temos .

Passo 4

Aplicando a fórmula com , temos:
Portanto, a transformada de Laplace de é .

Resposta

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Considere o campo
definido em todos os pontos .
(b) Mostre que a não é um gradiente.
Considere o campo
definido em todos os pontos .
(a) Mostre que para todo .
Aplique a definição para encontrar diretamente as transformadas de Laplace das funções descritas:

Resposta:
Aplique a definição para encontrar diretamente as transformadas de Laplace das funções descritas:

Resposta: