Considere o campo
definido em todos os pontos
.
(b) Mostre que a
não é um gradiente.
(b) Mostre que a
Passo 1
Vamos analisar o exercício: temos um campo vetorial definido por
em todos os pontos
. O objetivo é mostrar que esse campo não é um gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e quais são as condições para que um campo vetorial seja um gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é chamado de campo gradiente se existe uma função escalar
tal que
Uma maneira de verificar se um campo é gradiente é calcular o rotacional dele. Se o rotacional for zero em toda a região onde o campo está definido e a região for simplesmente conexa, então o campo é conservativo, ou seja, é um gradiente de alguma função escalar.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo
. No caso de campos vetoriais bidimensionais, o rotacional é dado por
onde
. No nosso caso,
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
. Temos:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Temos:
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o rotacional:
Então, o rotacional do campo é zero.
Passo 7
Apesar de o rotacional ser zero, precisamos lembrar que para um campo ser gradiente, ele deve ser conservativo em toda a região onde está definido e essa região deve ser simplesmente conexa. No caso do nosso campo, o ponto
não está incluído na região, e a região
não é simplesmente conexa, pois não podemos encolher todos os caminhos ao redor da origem sem sair da região.
Resposta
Portanto, mesmo com o rotacional sendo zero, o campo
não é um gradiente, pois a região onde está definido não é simplesmente conexa.