definido em todos os pontos .
(b) Mostre que a não é um gradiente.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: temos um campo vetorial definido por
em todos os pontos . O objetivo é mostrar que esse campo não é um gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e quais são as condições para que um campo vetorial seja um gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é chamado de campo gradiente se existe uma função escalar tal que
Uma maneira de verificar se um campo é gradiente é calcular o rotacional dele. Se o rotacional for zero em toda a região onde o campo está definido e a região for simplesmente conexa, então o campo é conservativo, ou seja, é um gradiente de alguma função escalar.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo . No caso de campos vetoriais bidimensionais, o rotacional é dado por
onde . No nosso caso,
Passo 4
Primeiro, vamos calcular . Temos:
Derivando em relação a :
Passo 5
Agora, vamos calcular . Temos:
Derivando em relação a :
Passo 6
Agora, vamos calcular o rotacional:
Então, o rotacional do campo é zero.
Passo 7
Apesar de o rotacional ser zero, precisamos lembrar que para um campo ser gradiente, ele deve ser conservativo em toda a região onde está definido e essa região deve ser simplesmente conexa. No caso do nosso campo, o ponto não está incluído na região, e a região não é simplesmente conexa, pois não podemos encolher todos os caminhos ao redor da origem sem sair da região.
Resposta
Portanto, mesmo com o rotacional sendo zero, o campo não é um gradiente, pois a região onde está definido não é simplesmente conexa.