Considere o campo
definido em todos os pontos .
(b) Mostre que a não é um gradiente.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: temos um campo vetorial definido por
em todos os pontos . O objetivo é mostrar que esse campo não é um gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e quais são as condições para que um campo vetorial seja um gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é chamado de campo gradiente se existe uma função escalar tal que
Uma maneira de verificar se um campo é gradiente é calcular o rotacional dele. Se o rotacional for zero em toda a região onde o campo está definido e a região for simplesmente conexa, então o campo é conservativo, ou seja, é um gradiente de alguma função escalar.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo . No caso de campos vetoriais bidimensionais, o rotacional é dado por
onde . No nosso caso,

Passo 4

Primeiro, vamos calcular . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular o rotacional:
Então, o rotacional do campo é zero.

Passo 7

Apesar de o rotacional ser zero, precisamos lembrar que para um campo ser gradiente, ele deve ser conservativo em toda a região onde está definido e essa região deve ser simplesmente conexa. No caso do nosso campo, o ponto não está incluído na região, e a região não é simplesmente conexa, pois não podemos encolher todos os caminhos ao redor da origem sem sair da região.

Resposta

Portanto, mesmo com o rotacional sendo zero, o campo não é um gradiente, pois a região onde está definido não é simplesmente conexa.

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Considere o campo
definido em todos os pontos .
(a) Mostre que para todo .
Considere o plano sem o semi-eixo
Se , considere e aonde é dado por
Mostre que
Aplique a definição para encontrar diretamente as transformadas de Laplace das funções descritas:
.
Resposta: ,
Aplique a definição para encontrar diretamente as transformadas de Laplace das funções descritas:

Resposta: