definido em todos os pontos .
(a) Mostre que para todo .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
O objetivo é mostrar que a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a para todo ponto . Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Passo 2
Vamos identificar as componentes do vetor :
(componente na direção )
(componente na direção )
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :