Considere o campo
a(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
definido em todos os pontos (x, y) neq(0,0).
(a) Mostre que partial1 a2=partial2 a1 para todo (x, y) neq(0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
a(x, y) = -yx^2+y^2 i + xx^2+y^2 j
O objetivo é mostrar que a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a para todo ponto . Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais passo a passo.

Passo 2

Vamos identificar as componentes do vetor :
  • (componente na direção )
  • (componente na direção )

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial1 a2 = partialpartial x ( xx^2+y^2 ) em relação a partial1 a2 = (1)(x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2 , ou seja, :
Usando a regra do quociente:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de partial2 a1 = partialpartial y ( -yx^2+y^2 ) em relação a partial2 a1 = -(1)(x^2+y^2) - y(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2 - 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2 , ou seja, :
Novamente, usando a regra do quociente:

Resposta

Como vimos, . Portanto, mostramos que para todo .

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