Considere o campo
definido em todos os pontos .
(a) Mostre que para todo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
O objetivo é mostrar que a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a para todo ponto . Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais passo a passo.

Passo 2

Vamos identificar as componentes do vetor :
  • (componente na direção )
  • (componente na direção )

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Usando a regra do quociente:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Novamente, usando a regra do quociente:

Resposta

Como vimos, . Portanto, mostramos que para todo .

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Considere o plano sem o semi-eixo
Se , considere e aonde é dado por
Mostre que
Considere o campo de força gravitacional (com ) definido para todo ponto distinto da origem por:
Mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional conforme uma partícula se traslada de a , a longo de uma trajetória qualquer, depende exclusivamente dos rádios e .
Considere o campo
definido em todos os pontos .
(b) Mostre que a não é um gradiente.
Aplique a definição para encontrar diretamente as transformadas de Laplace das funções descritas:
.
Resposta: ,