Considere o campo
definido em todos os pontos
.
(a) Mostre que
para todo
.
(a) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
O objetivo é mostrar que a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
para todo ponto
. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Passo 2
Vamos identificar as componentes do vetor
:
-
(componente na direção ) -
(componente na direção )
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Novamente, usando a regra do quociente:
Resposta
Como vimos,
. Portanto, mostramos que
para todo
.