Aplique a definição de integral de linha e determine o trabalho feito pelo campo de força F, F(x, y) = x^2 * i - x * y * j ao se mover a partícula ao longo de um quarto de círculo \gamma(t) = cos(t) \vec{i} + sen(t) \vec{j}, 0 <= t <= pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo definido por , para 0 <= t <= pi/2. Vamos usar a definição de integral de linha para isso. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e aplicar a fórmula da integral de linha para calcular o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho gamma é dado pela integral de linha:
Aqui, F é o campo de força e é o vetor diferencial do deslocamento ao longo do caminho.

Passo 3

Nossa trajetória gamma(t) está parametrizada por:
Para calcular , derivamos gamma(t) em relação a t:

Passo 4

Agora, precisamos substituir x e y em F pelas expressões de gamma(t):

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então .

Passo 7

Substituindo na integral:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao mover a partícula ao longo do quarto de círculo é 2/3 unidades de trabalho.

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