Aplique a definição de integral de linha e determine o trabalho feito pelo campo de força
,
ao se mover a partícula ao longo de um quarto de círculo
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo definido por
, para
. Vamos usar a definição de integral de linha para isso. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e aplicar a fórmula da integral de linha para calcular o trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de força e
é o vetor diferencial do deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
Nossa trajetória
está parametrizada por:
Para calcular
, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos substituir
e
em
pelas expressões de
:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao mover a partícula ao longo do quarto de círculo é
unidades de trabalho.