Um campo vetorial F é dado por F(x, y) = (3 + 2y) i + (x^2 + 3y^2) j. Verifique se F é um campo conservativo. Justifique sua resposta!

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2y) i + (x^2 + 3y^2) j é um campo conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados a campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial phi(x, y) tal que , ou seja, e . Uma condição necessária para que F seja conservativo é que as derivadas parciais satisfaçam .

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todos os valores de x e y.

Passo 6

Observamos que só é igual a quando x = 1. Como para outros valores de x não é igual, a condição não é satisfeita em todo o domínio.

Resposta

Portanto, o campo vetorial F não é conservativo porque as derivadas parciais e não são iguais.

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