Um campo vetorial
é dado por
. Verifique se
é um campo conservativo. Justifique sua resposta!
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o campo vetorial
é um campo conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados a campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
, ou seja,
e
. Uma condição necessária para que
seja conservativo é que as derivadas parciais satisfaçam
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todos os valores de
e
.
Passo 6
Observamos que
só é igual a
quando
. Como para outros valores de
não é igual, a condição
não é satisfeita em todo o domínio.
Resposta
Portanto, o campo vetorial
não é conservativo porque as derivadas parciais
e
não são iguais.