Um campo vetorial é dado por . Verifique se é um campo conservativo. Justifique sua resposta!

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o campo vetorial é um campo conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial relacionados a campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que , ou seja, e . Uma condição necessária para que seja conservativo é que as derivadas parciais satisfaçam .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Comparamos as duas derivadas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todos os valores de e .

Passo 6

Observamos que só é igual a quando . Como para outros valores de não é igual, a condição não é satisfeita em todo o domínio.

Resposta

Portanto, o campo vetorial não é conservativo porque as derivadas parciais e não são iguais.

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